Question

второй и седьмой члены геометрической прогрессии соответственно равны 1/3 и 81. Найдите члены прогрессии, заключенные между ними

Answer 1

b₂=1/3      b₇=81     b₃, b₄, b₅, b₆ - ?

b₂=b₁q=1/3          

b₇=b₁q⁶=81

разделим второе уравнение на первое:

b₇=b₁q⁶/b¹q=81/(1/3)

q⁵=243

q⁵=3⁵

q=3    ⇒

b₃=b₂q=(1/3)*3=1.

b₄=b₃q=1*3=3.

b₅=b₄q=3*3=9.

b₆=b₅q=9*3=27.

Ответ: 1; 3; 9; 27.

Answer 2

Чтобы найти члены геометрической прогрессии, которые заключены между вторым (1/3) и седьмым (81) членами, нужно сначала найти знаменатель прогрессии (q) и первый член прогрессии (a).

Вспомним, что формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$,

где:

• $a_n$ - n-й член прогрессии,
• $a_1$ - первый член прогрессии,
• $q$ - знаменатель прогрессии,
• $n$ - порядковый номер члена прогрессии.

Из условия у нас есть информация о втором и седьмом членах:

$a_2 = \frac{1}{3}$,

$a_7 = 81$.

Также нам известно, что $a_2 = a_1 \cdot q$, и $a_7 = a_1 \cdot q^{6}$.

Мы можем использовать эти два уравнения, чтобы найти $a_1$ и $q$:

Уравнение 1: $a_2 = a_1 \cdot q$ Уравнение 2: $a_7 = a_1 \cdot q^{6}$

Разделим уравнение 2 на уравнение 1:

$\frac{a_7}{a_2} = \frac{a_1 \cdot q^{6}}{a_1 \cdot q}$

$81 = q^{5}$

Теперь найдем значение q:

$q = \sqrt[5]{81} = 3$

Теперь, когда у нас есть значение $q$, можем найти $a_1$ с помощью уравнения 1:

$a_2 = a_1 \cdot q$

$\frac{1}{3} = a_1 \cdot 3$

$a_1 = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

Теперь у нас есть первый член $a_1 = \frac{1}{9}$ и знаменатель $q = 3$ геометрической прогрессии.

Чтобы найти остальные члены, просто используем формулу общего члена прогрессии:

$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$

Для нахождения третьего члена (n=3):

$a_3 = \frac{1}{9} \cdot 3^{(3-1)} = \frac{1}{9} \cdot 3^2 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1$

Для нахождения четвертого члена (n=4):

$a_4 = \frac{1}{9} \cdot 3^{(4-1)} = \frac{1}{9} \cdot 3^3 = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3$

Для нахождения пятого члена (n=5):

$a_5 = \frac{1}{9} \cdot 3^{(5-1)} = \frac{1}{9} \cdot 3^4 = \frac{1}{9} \cdot 81 = 9$