Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x)=x^2-4x+4 и графиком её производной f'(x)

Answer 1

на фотке классный интеграл

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 4x + 4 и графиком её производной f'(x), необходимо сначала найти точки пересечения этих двух графиков. Такие точки будут ограничивать интересующую нас фигуру.

1. Начнем с вычисления производной функции f(x): f'(x) = d/dx (x^2 - 4x + 4)

Используем правило дифференцирования степенной функции (d/dx (x^n) = n * x^(n-1)):

f'(x) = 2x - 4

2. Теперь найдем точки пересечения графиков функции f(x) и её производной f'(x), решив уравнение:

x^2 - 4x + 4 = 2x - 4

Перепишем уравнение в стандартной форме:

x^2 - 6x + 8 = 0

Теперь решим уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

(x - 2)(x - 4) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 2 и x = 4.

Таким образом, графики функции f(x) и её производной f'(x) пересекаются в точках (2, f(2)) и (4, f(4)).

3. Теперь вычислим значения функции f(x) в найденных точках:

f(2) = 2^2 - 42 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 f(4) = 4^2 - 44 + 4 = 16 - 16 + 4 = 4

Таким образом, координаты точек пересечения: (2, 0) и (4, 4).

4. Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и графиком её производной f'(x). Эта фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках (2, 0), (4, 4) и осью абсцисс (x-осью).

Ширина треугольника (по оси x) будет равна разнице абсцисс вершин: 4 - 2 = 2.

Высота треугольника (по оси y) будет равна ординате вершины (4, 4).

Теперь вычислим площадь треугольника:

Площадь = (база * высота) / 2 = (2 * 4) / 2 = 4.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и графиком её производной f'(x), равна 4 квадратным единицам.