Question

СРОЧНО. Доказать, что если а>о и в>о, то а/в²+в/а²≥1/а+1/в

Answer 1

a>0     b>0        

a/b²+b/a²≥1-a+1/b

(a³+b³)/a²b²≥(a+b)/ab

(a+b)(a²-ab+b²)/a²b²-(a+b)/ab≥0

((a+b)(a²-ab+b²)-(a+b)*ab)/a²b²≥0

(a+b)(a²-ab+b²-ab)/a²b²≥0

(a+b)(a²-2ab+b²)/a²b²≥0

(a+b)(a-b)²/a²b²≥0

Так как a>0   b>0   ⇒

(a+b)>0     (a-b)²≥0        a²b²>0    ⇒  (a+b)(a-b)²/a²b²≡≥0  

Таким образом:

a/b²+b/a²≡≥1-a+1/b.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, начнем с левой стороны (А/В² + В/А²) и попробуем привести его к форме правой стороны (1/А + 1/В).

1. Начнем с левой стороны: А/В² + В/А²

2. Возьмем общий знаменатель для слагаемых: Заметим, что общим знаменателем для слагаемых А/В² и В/А² является А²В².

3. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю: (А²/А²В²) + (В²/А²В²)

4. Упростим каждое слагаемое: 1/В² + 1/А²

5. Теперь приведем правую сторону (1/А + 1/В) к общему знаменателю АВ: (1/А) * (В/В) + (1/В) * (А/А) = В/АВ + А/АВ

6. Упростим: В/АВ + 1

Таким образом, неравенство принимает следующий вид: 1/В² + 1/А² ≥ В/АВ + 1

Теперь, чтобы доказать данное неравенство, остается показать, что В/АВ + 1 ≥ 1/В² + 1/А².

7. Перенесем 1 на левую сторону: В/АВ - 1 ≥ 1/В² + 1/А² - 1

8. Приведем дроби к общему знаменателю АВ²: (В² - АВ) / АВ² ≥ (1 - А² - В²) / В²А²

9. Приведем числители к общему знаменателю: (В² - АВ) / АВ² ≥ (- А² - В²) / В²А²

10. Умножим обе части неравенства на В²А², сохраняя знак неравенства (так как В²А² > 0, ведь А > 0 и В > 0): В² - АВ ≤ - А² - В²

11. Перенесем все слагаемые с В² на одну сторону, а с другой стороны оставим только А²: В² + В² ≤ А²

12. Упростим: 2В² ≤ А²

Поскольку А > 0, то и А² > 0. Таким образом, неравенство 2В² ≤ А² выполнено.

Таким образом, мы доказали, что А/В² + В/А² ≥ 1/В² + 1/А², что и требовалось доказать.