Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=6x-x^2 и y= 2x

Answer 1

————————————————ииииииииии

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x-x^2 и y=2x, нужно определить точки их пересечения и вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения:

Приравняем уравнения y=6x-x^2 и y=2x: 6x-x^2 = 2x

Перенесем все в одну сторону: 6x - x^2 - 2x = 0

Упростим уравнение: 4x - x^2 = 0

Факторизуем: x(4 - x) = 0

Теперь найдем значения x:

1. x = 0
2. 4 - x = 0 x = 4

Таким образом, линии пересекаются в точках (0, 0) и (4, 8).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры между этими линиями, интегрируя разницу между ними по оси x от x=0 до x=4:

Площадь = ∫(от 0 до 4) [(6x - x^2) - (2x)] dx

Площадь = ∫(от 0 до 4) (4x - x^2) dx

Вычислим интеграл: ∫(от 0 до 4) (4x - x^2) dx = [2x^2 - (x^3/3)](от 0 до 4)

= [2 * 4^2 - (4^3/3)] - [2 * 0^2 - (0^3/3)]

= [32 - (64/3)] - [0 - 0]

= [32 - (64/3)]

= (96 - 64) / 3

= 32 / 3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x-x^2 и y=2x, равна 32/3 или примерно 10.67 квадратных единиц.