Question

Даю 60 баллов. Не могу решить неравенство (2x-1)(1+2x)-x(x+4)<6. Желательно полный ответ.

Answer 1

(2x-1)(1+2x)-x(x+4)<6

(2x)²-1² - x²-4x < 6

4x²-1-x²-4x-6 < 0

3x² - 4x - 7 < 0

Разложим на множители трехчлен в левой части, для этого решим  квадратное уравнение:

3x² - 4x - 7 = 0

D=16-4·3·(-7) = 16+84=100=10²

x₁=(4-10)/6= -1

x₂=(4+10)/6= 2 ¹/₃

3(x+1)(x-2 ¹/₃) < 0

Определим знаки на каждом из трех промежутков:

1) На промежутке (∞; -1)    "+"

2) (- 1;  2 ¹/₃)   "-"

3) (2 ¹/₃; +∞)   "+"

Ответ: х∈(- 1;  2 ¹/₃)

Answer 2

Хорошо, давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Неравенство: (2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6

1. Начнем с раскрытия скобок: (2x - 1)(1 + 2x) = 2x * 1 + 2x * 2x - 1 * 1 - 1 * 2x = 2x + 4x^2 - 1 - 2x = 4x^2 - 1 x(x + 4) = x * x + x * 4 = x^2 + 4x

   Подставим обратно в исходное неравенство: 4x^2 - 1 - (x^2 + 4x) < 6

2. Упростим выражение: 4x^2 - 1 - x^2 - 4x < 6 3x^2 - 4x - 1 < 6

3. Перенесем все члены в левую часть неравенства: 3x^2 - 4x - 7 < 0

4. Найдем корни квадратного уравнения, чтобы понять, как меняется знак выражения: Для уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 3, b = -4 и c = -7, используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac. D = (-4)^2 - 4 * 3 * (-7) = 16 + 84 = 100.

   Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня: x1 = (-b + √D) / 2a = (4 + √100) / (2 * 3) = (4 + 10) / 6 = 14 / 6 = 7 / 3

   x2 = (-b - √D) / 2a = (4 - √100) / (2 * 3) = (4 - 10) / 6 = -6 / 6 = -1

   Таким образом, корни уравнения: x1 = 7/3 и x2 = -1.

5. Теперь определим интервалы знакопостоянства многочлена. Для этого используем тестовые точки: a) Выберем число между -∞ и -1, например, x = -2. Подставим в исходное неравенство: 3(-2)^2 - 4(-2) - 7 = 12 - (-8) - 7 = 12 + 8 - 7 = 13 > 0

   b) Выберем число между -1 и 7/3, например, x = 0. Подставим в исходное неравенство: 3(0)^2 - 4(0) - 7 = 0 - 0 - 7 = -7 < 0

   c) Выберем число больше 7/3, например, x = 3. Подставим в исходное неравенство: 3(3)^2 - 4(3) - 7 = 27 - 12 - 7 = 8 > 0

6. Теперь составим таблицу знаков для интервалов:

   x < -1	-1 < x < 7/3	x > 7/3

   • | - | +

7. Итак, неравенство выполняется при значениях x, принадлежащих интервалам (-∞, -1) и (7/3, +∞).

Ответ: Решением неравенства (2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6 является множество значений x, принадлежащих интервалам (-∞, -1) и (7/3, +∞).