Question

Помогите пожалуйста lgcos2x=lg(cosx) решить с помощью систем

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения уравнения lg(cos(2x)) = lg(cos(x)) с помощью систем уравнений, введем новую переменную: пусть y = lg(cos(x)). Тогда уравнение примет вид:

lg(cos(2x)) = y

Теперь можно составить систему уравнений:

1. Уравнение, связывающее y и x: y = lg(cos(x))

2. Уравнение, связывающее y и 2x: y = lg(cos(2x))

Теперь найдем выражение для cos(2x) через cos(x) с использованием тригонометрических тождеств:

cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1

Теперь заменим cos(2x) в уравнении (2) на выражение через cos(x):

y = lg(2 * cos^2(x) - 1)

Теперь решим систему уравнений:

1. y = lg(cos(x))
2. y = lg(2 * cos^2(x) - 1)

Поскольку y одинаковое в обоих уравнениях, приравняем правые части:

lg(cos(x)) = lg(2 * cos^2(x) - 1)

Для дальнейшего решения рассмотрим это уравнение в более простой форме:

cos(x) = 2 * cos^2(x) - 1

Теперь решим это уравнение:

1. Перенесем все слагаемые в одну сторону: 2 * cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

2. Попробуем решить уравнение, используя замену t = cos(x): 2 * t^2 - t - 1 = 0

3. Решим квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

t1,2 = (-b ± √D) / 2a t1,2 = (1 ± √9) / 4 t1 = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 t2 = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Теперь найдем cos(x) обратно:

cos(x) = t1 = 1 cos(x) = t2 = -0.5

Однако косинус не может быть меньше -1, поэтому отбросим значение -0.5.

Таким образом, единственное решение уравнения lg(cos(2x)) = lg(cos(x)) составляет:

cos(x) = 1

Решением исходного уравнения будет x = 0.