Question

1. log2^2(x-1)+log2(x-1)<2 2. log1/2(3x+1)>6+log1/2(3x+1) помогите!

Answer 1

$log_{2}^{2}(x-1)+log_{2}(x-1)$

ОДЗ : x - 1 > 0      ⇒    x > 1

Сделаем замену :

$log_{2}(x-1)=m\\\\m^{2}+m-2$

        +                       -                          +

_________₀____________₀___________

                 - 2                         1

                   /////////////////////////

$log_{2}(x-1)>-2\\\\x-1>0,25\\\\x>1,25\\\\log_{2}(x-1)$

Ответ : x ∈ (1,25 ; 3)

$2)log_{\frac{1}{2} }^{2} (3x+1)>6+log_{\frac{1}{2} }(3x+1)$

ОДЗ : 3x + 1 > 0       ⇒    x > - 1/3

Сделаем замену :

$log_{\frac{1}{2} }^{2}(3x+1)=m\\\\m^{2}-m-6>0\\\\(m-3)(m+2)>0$

       +                       -                           +

__________₀___________₀___________

                   - 2                       3

////////////////////                          ///////////////////////

$log_{\frac{1}{2} }(3x+1)4\\\\3x>3\\\\x>1\\\\log_{\frac{1}{2} }(3x+1)>3\\\\3x+1$

Ответ : (- 1/3 ; - 7/24) ∪ (1 ; + ∞)

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. Начнем с первого уравнения: log2^2(x-1) + log2(x-1) < 2.

Сначала объединим два логарифма с одним и тем же основанием, заменив умножение сложением:

log2^2(x-1) + log2(x-1) = log2^2(x-1) + log2((x-1)^1).

Затем используем свойство логарифмов: log_b(x^a) = a * log_b(x):

log2^2(x-1) + log2((x-1)^1) = 2 * log2(x-1) + log2(x-1).

Теперь имеем:

2 * log2(x-1) + log2(x-1) < 2.

Объединим логарифмы:

3 * log2(x-1) < 2.

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в степень основания 2:

2^(3 * log2(x-1)) < 2^2.

Так как 2^(3 * log2(x-1)) эквивалентно (x-1)^3, у нас теперь есть:

(x-1)^3 < 4.

Теперь найдем все значения x, которые удовлетворяют этому неравенству. Возведем все в кубическую степень:

(x-1) < 4^(1/3).

Вычислим 4^(1/3) ≈ 1.587:

x - 1 < 1.587.

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

x < 2.587.

Таким образом, решением данного уравнения являются все значения x, которые меньше 2.587.

2. Теперь перейдем ко второму уравнению: log1/2(3x+1) > 6 + log1/2(3x+1).

Сначала объединим логарифмы с одним и тем же основанием:

log1/2(3x+1) - log1/2(3x+1) > 6.

Поскольку два одинаковых логарифма вычитаются, получим:

0 > 6.

Это неверное утверждение. Никакое значение x не удовлетворяет этому неравенству. Таким образом, второе уравнение не имеет решений.