Question

4sinx * cosx * cos2x = 1 Решите уравнение, упростив левую часть.

Answer 1

4sinxcosxcos2x=1
2sin2xcos2x=1
sin4x=1
4x=π/2+2πk;k€Z

x=π/8+πk/2;k€Z

Answer 2

Для решения уравнения 4sinx * cosx * cos2x = 1, начнем с упрощения левой части:

Используем тригонометрические тождества:

1. cos2x = cos^2(x) - sin^2(x)
2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим эти значения в исходное уравнение:

4sin(x) * cos(x) * (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1

Теперь упростим:

4sin(x) * cos(x) * cos^2(x) - 4sin(x) * cos(x) * sin^2(x) = 1

Теперь факторизуем обе части уравнения:

4sin(x) * cos(x) * (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1 4sin(x) * cos(x) * (cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) = 1

Теперь можно выразить sin(x) * cos(x) из полученного уравнения:

sin(x) * cos(x) = 1 / (4(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)))

Теперь рассмотрим уравнение второй степени:

cos(x) + sin(x) = cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + sin^2(x) = 1 + sin(2x)

cos(x) - sin(x) = cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) + sin^2(x) = 1 - sin(2x)

Теперь заменим выражения для cos(x) + sin(x) и cos(x) - sin(x) в уравнении для sin(x) * cos(x):

sin(x) * cos(x) = 1 / (4(1 + sin(2x))(1 - sin(2x)))

Теперь у нас есть уравнение, сводящееся к уравнению вида sin(x) * cos(x) = k, где k - некоторое постоянное значение.

Для решения этого уравнения, сначала найдем значение k:

1 / (4(1 + sin(2x))(1 - sin(2x))) = k

Теперь решим уравнение относительно sin(2x):

(1 + sin(2x))(1 - sin(2x)) = 1 / (4k)

1 - sin^2(2x) = 1 / (4k)

sin^2(2x) = 1 - 1 / (4k)

sin(2x) = ±√(1 - 1 / (4k))

Теперь рассмотрим два случая:

1. sin(2x) = √(1 - 1 / (4k)):

Тогда 2x = arcsin(√(1 - 1 / (4k)))

x = arcsin(√(1 - 1 / (4k))) / 2

2. sin(2x) = -√(1 - 1 / (4k)):

Тогда 2x = π - arcsin(√(1 - 1 / (4k)))

x = (π - arcsin(√(1 - 1 / (4k)))) / 2

Обратите внимание, что некоторые значения k могут привести к комплексным решениям, в таких случаях уравнение имеет комплексные корни. Кроме того, необходимо проверить полученные значения x, так как при возведении в синус и обратный синус могут возникать дополнительные решения из-за периодичности синусоиды.