Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=√x*(x-2), проходящей через точку x0=4

Answer 1

****************************************

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции f(x) = √(x*(x-2)), проходящей через точку x0 = 4, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем значение производной функции f(x) по x.
2. Подставим значение x0 = 4 в полученную производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной.
3. Используем найденный угловой коэффициент и точку x0 = 4, чтобы составить уравнение касательной в форме y = mx + b, где m - угловой коэффициент, b - точка пересечения с осью y.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (√(x*(x-2)))

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule). Пусть u(x) = √x и v(x) = x*(x-2), тогда: f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)

Найдем производные: u'(x) = 1/(2√x) v'(x) = d/dx (x*(x-2)) = 1*(x-2) + x*(1) = 2x - 2

Теперь: f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = (1/(2√v(x))) * (2x - 2) = (2x - 2) / (2√(x*(x-2)))

Шаг 2: Подставим x0 = 4 в f'(x) для нахождения углового коэффициента касательной: m = f'(4) = (24 - 2) / (2√(4(4-2))) = (8 - 2) / (2√(8)) = 6 / (2√8) = 6 / (2 * 2√2) = 3 / √2

Шаг 3: Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной, а также точка x0 = 4, через которую проходит касательная. Чтобы найти b, используем уравнение касательной в форме y = mx + b и подставим значения:

y = f(x) = √(x*(x-2)) x = x0 = 4 m = 3 / √2

Теперь найдем y: y0 = √(4*(4-2)) = √(4*2) = √8 = 2√2

Теперь, используя уравнение y = mx + b и точку (4, 2√2), найдем b: 2√2 = (3 / √2) * 4 + b 2√2 = 12 / √2 + b b = 2√2 - 12 / √2 b = (2√2 * √2 - 12) / √2 b = (2 * 2 - 12) / √2 b = (4 - 12) / √2 b = -8 / √2 b = -8√2 / (√2 * √2) b = -8√2 / 2 b = -4√2

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = √(x*(x-2)), проходящей через точку x0 = 4, имеет вид: y = (3 / √2) * x - 4√2