Question

F(x)=x²-4x f(x)=x⁴/4-x+5 найдите экстремумы функции

Answer 1

Решение во вложении. Удачи.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функций, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Экстремумы могут быть минимумами (локальными или глобальными) или максимумами (также локальными или глобальными).

Давайте сначала найдем экстремумы для функции F(x) = x² - 4x:

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = d/dx (x² - 4x) = 2x - 4

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 2x - 4 = 0 2x = 4 x = 4/2 x = 2

3. Теперь проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это точка экстремума и определить тип экстремума. Возьмем вторую производную F''(x):

F''(x) = d/dx (2x - 4) = 2

Вторая производная является положительной константой (2), что означает, что точка x = 2 является минимумом функции F(x).

Теперь рассмотрим функцию f(x) = x⁴/4 - x + 5:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x⁴/4 - x + 5) = 4x³/4 - 1

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 4x³/4 - 1 = 0 4x³ - 4 = 0 4(x³ - 1) = 0

Теперь найдем значения x: a) x³ - 1 = 0 x³ = 1 x = 1

3. Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это точка экстремума и определить тип экстремума. Возьмем вторую производную f''(x):

f''(x) = d/dx (4x³/4 - 1) = 12x²/4 = 3x²

Теперь подставим значение x = 1 во вторую производную:

f''(1) = 3(1)² = 3

Вторая производная положительна (3), что означает, что точка x = 1 является минимумом функции f(x).

Таким образом, экстремумы функции F(x) = x² - 4x и f(x) = x⁴/4 - x + 5 равны:

• Для F(x): минимум в точке (2, -4).
• Для f(x): минимум в точке (1, 4.75).