Question

Найдите первооьразную (вычислите неопределенный интеграл ) функции а) f ( x )=x^2-4x b) f (x)=cos2 ответы с развернутым решением ,заранее спасибо

Answer 1

f(x)=x^n    F(x)=(x^(n+1))/(n+1)

f(x)=cosx    F(x)=sinx

Answer 2

a) F(x) = x^3/3 - 4x^2/2 + c = x^3/3 - 2x^2 + c

б) F(x) = 1/2sin2x + c

Answer 3

Давайте найдем первообразную (неопределенный интеграл) для каждой из данных функций:

а) Функция f(x) = x^2 - 4x

Для нахождения первообразной, нужно найти функцию F(x) такую, что её производная равна данной функции f(x).

Итак, для функции f(x) = x^2 - 4x, найдем первообразную F(x):

F(x) = ∫(x^2 - 4x) dx

Чтобы найти интеграл, разделим его на два интеграла:

F(x) = ∫x^2 dx - ∫4x dx

Теперь проинтегрируем каждый из интегралов по отдельности:

∫x^2 dx: Интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1). В данном случае n = 2.

∫x^2 dx = (x^(2+1))/(2+1) = (x^3)/3

∫4x dx: Интеграл от константы, умноженной на x, равен (константа)*(x^1).

∫4x dx = 4 * (x^1) = 4x

Теперь сложим найденные интегралы:

F(x) = (x^3)/3 - 4x + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная для функции f(x) = x^2 - 4x равна F(x) = (x^3)/3 - 4x + C.

б) Функция f(x) = cos^2(x)

Здесь используем тригонометрическую тождество cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2.

Теперь найдем первообразную для функции f(x) = (1 + cos(2x))/2:

F(x) = ∫((1 + cos(2x))/2) dx

Разделим на два интеграла:

F(x) = (1/2) ∫(1 + cos(2x)) dx

∫1 dx = x, так как интеграл от константы равен x.

Теперь рассмотрим интеграл ∫cos(2x) dx:

Для интеграла от cos(ax) dx, где a - константа, ответ равен (1/a) * sin(ax).

В данном случае a = 2, следовательно:

∫cos(2x) dx = (1/2) * sin(2x)

Теперь сложим найденные интегралы:

F(x) = (1/2) * x + (1/2) * sin(2x) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная для функции f(x) = cos^2(x) равна F(x) = (1/2) * x + (1/2) * sin(2x) + C.