Question

Доказать тождество: (1 - tg^2 A)/(1 + tg^2 A) = cos2A

Answer 1

$\frac{1-tg^{2}\alpha}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{1-\frac{Sin^{2} \alpha }{Cos^{2}\alpha}}{1+\frac{Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha}}=\frac{(Cos^{2}\alpha-Sin^{2}\alpha)*Cos^{2}\alpha}{(Cos^{2}\alpha+Sin^{2}\alpha)*Cos^{2}\alpha}=\frac{Cos2\alpha }{1}=Cos2\alpha\\\\Cos2\alpha=Cos2\alpha$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны выражения и попробуем привести его к правой стороне, используя тригонометрические тождества.

Левая сторона: (1 - tg^2 A) / (1 + tg^2 A)

Для упрощения, давайте заменим тангенс на синус и косинус, используя следующие определения:

tg A = sin A / cos A

Теперь подставим вместо tg A в левую часть:

(1 - (sin A / cos A)^2) / (1 + (sin A / cos A)^2)

Мы также можем переписать квадраты тангенса с использованием тригонометрического тождества:

sin^2 A / cos^2 A = (1 - cos^2 A) / cos^2 A = 1 / cos^2 A - 1

Теперь подставим это обратно в левую часть:

(1 - (1 / cos^2 A - 1)) / (1 + 1 / cos^2 A - 1)

Упростим дальше:

(1 - 1 + 1 / cos^2 A) / (1 + 1 / cos^2 A - 1)

Теперь отбросим нули и преобразуем обратный квадрат косинуса:

1 / cos^2 A = sec^2 A

Таким образом, получаем:

sec^2 A / sec^2 A

Теперь используем определение секанса:

sec A = 1 / cos A

Теперь можем сократить:

1 / cos A * cos A = 1

Правая сторона: cos 2A

Теперь докажем правую часть:

cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = cos^2 A - (1 - cos^2 A) = 2cos^2 A - 1

Таким образом, правая часть равна 2cos^2 A - 1.

Так как мы убедились, что левая часть (1 - tg^2 A) / (1 + tg^2 A) равна 1 и правая часть cos 2A равна 2cos^2 A - 1, то мы доказали тождество:

(1 - tg^2 A) / (1 + tg^2 A) = cos 2A.