Question

3Sin^2 x-4Cosx+4=0 помогите пожалуйста объясните как решать?

Answer 1

______________________

Answer 2

Для решения уравнения 3sin^2(x) - 4cos(x) + 4 = 0, сначала давайте попробуем преобразовать его с использованием тригонометрических тождеств. Заметим, что:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тригонометрическое тождество);
2. 3sin^2(x) = 3 - 3cos^2(x) (умножаем обе части уравнения на 3 и заменяем sin^2(x) по формуле из пункта 1).

Теперь уравнение примет следующий вид:

3 - 3cos^2(x) - 4cos(x) + 4 = 0.

Далее объединим коэффициенты перед cos^2(x) и cos(x):

-3cos^2(x) - 4cos(x) + 7 = 0.

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно cos(x). Чтобы решить его, воспользуемся квадратным уравнением в общем виде:

ax^2 + bx + c = 0.

где в нашем случае a = -3, b = -4 и c = 7. Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac.

1. Найдем дискриминант D:

D = (-4)^2 - 4 * (-3) * 7 = 16 + 84 = 100.

2. Поскольку дискриминант D положителен (D > 0), у нас есть два действительных корня:

cos(x) = (-b + √D) / 2a и cos(x) = (-b - √D) / 2a.

3. Вычислим корни:

cos(x) = (4 + √100) / (-6) и cos(x) = (4 - √100) / (-6).

cos(x) = (4 + 10) / (-6) и cos(x) = (4 - 10) / (-6).

cos(x) = 14 / (-6) и cos(x) = -6 / (-6).

cos(x) = -7/3 и cos(x) = 1.

Теперь найдем значения sin(x):

Из тригонометрического тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1 следует:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

1. Если cos(x) = -7/3, то:

sin^2(x) = 1 - (-7/3)^2 = 1 - 49/9 = (9 - 49)/9 = -40/9.

Здесь мы получили отрицательное значение для sin^2(x), что недопустимо, так как sin^2(x) не может быть отрицательным. Следовательно, уравнение не имеет корней при данном значении cos(x).

2. Если cos(x) = 1, то:

sin^2(x) = 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0.

Здесь sin^2(x) равно нулю, что означает, что sin(x) = 0.

Таким образом, мы получили два значения для x:

1. x = π/2 (половина оборота), когда cos(x) = 1 и sin(x) = 0;
2. Уравнение не имеет корней, когда cos(x) = -7/3.

Пожалуйста, обратите внимание, что это только значения x в интервале от 0 до 2π. Уравнение может иметь дополнительные корни вне этого интервала, если мы ищем все возможные решения.