Question

решите пожалуйста 1+4cosx=cos2x sin4x+2cos^2x=1 3cosx+2tgx=0 2cos2x+4cosx=sin^2x

Answer 1

1)  $1+4cosx=cos2x; sin4x+2cos^2x=1; 3cosx+2tgx=0; 2cos2x+4cosx=sin^2x$
$1+4cosx=cos2x;$
$1+4cosx=2cos^2x-1;$
$2cos^2x-4cosx-2=0;cosx=t;t \in [-1;1];$
$t^2-2t-1=0;D_1=2;t_1= 1+ \sqrt{2}>1;t_2=1- \sqrt{2};t_2 \in [-1;1];$
2)  $sin4x+2cos^2x=1;$
$2sin2xcos2x+cos2x=0;$
$cos2x(2sin2x+1)=0;$
$cos2x=0;2x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n, n \in Z;x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi }{2} n, n \in Z;$
$2sin2x+1=0;2sin2x=-1;sin2x=- \frac{1}{2};$
$2x=(-1)^n(- \frac{ \pi }{6})+ \pi n,n \in Z; x=(-1)^{n+1}\frac{ \pi }{12}+ \frac{ \pi }{2} n,n \in Z;$
3)  $3cosx+2tgx=0;$ $cosx \neq 0;$
$3cosx+\frac{2sinx}{cosx} =0; \frac{3cos^2x+2sinx}{cosx}=0;$
$3cos^2x+2sinx=0;3(1-sin^2x)+2sinx=0;$
$3sin^2x-2sinx-3=0;sinx=t,t \in [-1;1];$
$3t^2-2t-3=0;D_1=10;t_1= \frac{1- \sqrt{10}}{3};t_2=\frac{1+ \sqrt{10}}{3}>1;$
$sinx= \frac{1- \sqrt{10}}{3};x=(-1)^{n}arcsin\frac{1- \sqrt{10}}{3}+ \pi n,n \in Z;$
4)  $2cos^2x+4cosx=sin^2x;$
$2cos^2x+4cosx=1-cos^2x;$
$3cos^2x+4cosx-1=0;cosx=t, t \in [-1;1];$
$3t^2+4t-1=0;D_1=4+3=7;$
$t_1=\frac{-2+ \sqrt{7}}{3};t_2=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}<-1$
$cosx= \frac{-2+ \sqrt{7}}{3};x=бarccos(\frac{-2+ \sqrt{7}}{3})+2 \pi n, n \in Z.$

Answer 2

Привет! Я могу помочь разобраться с данным уравнением. Давайте посмотрим на каждое уравнение по отдельности и найдем их решения.

Уравнение 1: 4cos(x) = cos(2x) + sin(4x) Для начала, давайте заменим cos(2x) и sin(4x) в этом уравнении: 4cos(x) = cos^2(x) - sin^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) 4cos(x) = cos^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) 4cos(x) = cos^2(x)(1 + sin^2(x)) 4cos(x) = cos^2(x)

Так как cos(x) ≠ 0 для всех значений x, мы можем делить обе стороны уравнения на cos(x): 4 = cos(x)

Уравнение 2: 2cos^2(x) = 1 + 3cos(x) Сначала приведем его к квадратному уравнению: 2cos^2(x) - 3cos(x) - 1 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение. Давайте найдем корни: cos(x) = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-1))) / (2*2) cos(x) = (3 ± √(9 + 8)) / 4 cos(x) = (3 ± √17) / 4

Уравнение 3: 2tg(x) = 0 Тангенс равен нулю при x = 0 и x = π.

Уравнение 4: 2cos(2x) + 4cos(x) = sin^2(x) Давайте приведем его к более простому виду: 2(2cos^2(x) - 1) + 4cos(x) = sin^2(x) 4cos^2(x) - 2 + 4cos(x) = sin^2(x)

Теперь заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x): 4cos^2(x) - 2 + 4cos(x) = 1 - cos^2(x) 5cos^2(x) + 4cos(x) - 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение: cos(x) = (-4 ± √(4^2 - 4*5*(-3))) / (2*5) cos(x) = (-4 ± √(16 + 60)) / 10 cos(x) = (-4 ± √76) / 10 cos(x) = (-2 ± √19) / 5

Таким образом, мы нашли несколько решений для данных уравнений. Решениями для первого уравнения являются x = arccos(4), для второго уравнения - x = arccos((3 ± √17) / 4), для третьего уравнения - x = 0 и x = π, и для четвертого уравнения - x = arccos((-2 ± √19) / 5).

Пожалуйста, обратите внимание, что данные решения могут быть приближенными, и проведите свою собственную проверку, чтобы убедиться в их точности.