Question

Найдите sin2A, cos2A, tg2A, если: а) sinA = - 3/5 и П < А < 3П/2 б) соsA = 5/13 и 3П/2 < А < 2П с) tg A = - 3/4 и П/2 < А < П

Answer 1

В школе решали :) Правда тут только cos2a, sin2a , надеюсь разберёшься.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы будем использовать тригонометрические идентичности, которые связывают углы с их функциями (синус, косинус и тангенс) удвоенными.

a) Первый случай: sinA = -3/5, и П < A < 3П/2

Для начала, найдем cosA, используя тригонометрическую идентичность: sin^2A + cos^2A = 1

cos^2A = 1 - sin^2A cos^2A = 1 - (-3/5)^2 cos^2A = 1 - 9/25 cos^2A = 16/25

Так как A находится во втором и третьем квадрантах, cosA отрицателен, и поэтому cosA = -4/5.

Теперь, используем тригонометрическую идентичность для cos2A: cos2A = cos^2A - sin^2A

cos2A = (-4/5)^2 - (-3/5)^2 cos2A = 16/25 - 9/25 cos2A = 7/25

Для нахождения sin2A, используем тригонометрическую идентичность: sin2A = 2 * sinA * cosA

sin2A = 2 * (-3/5) * (-4/5) sin2A = 24/25

Теперь найдем tg2A, используя тригонометрическую идентичность: tg2A = 2 * tgA / (1 - tg^2A)

tgA = -3/5 (дано) tg2A = 2 * (-3/5) / (1 - (-3/5)^2) tg2A = -6/5 / (1 - 9/25) tg2A = -6/5 / (16/25) tg2A = -6/5 * 25/16 tg2A = -75/80 tg2A = -15/16

Ответ: sin2A = 24/25 cos2A = 7/25 tg2A = -15/16

б) Второй случай: cosA = 5/13, и 3П/2 < A < 2П

Так как cosA положителен, а находится в четвертом квадранте, sinA отрицателен. Используем тригонометрическую идентичность: sin^2A + cos^2A = 1

sin^2A = 1 - cos^2A sin^2A = 1 - (5/13)^2 sin^2A = 1 - 25/169 sin^2A = 144/169 sinA = -12/13 (так как A находится в четвертом квадранте)

Теперь найдем sin2A, cos2A и tg2A, используя тригонометрические идентичности:

sin2A = 2 * sinA * cosA sin2A = 2 * (-12/13) * (5/13) sin2A = -120/169

cos2A = cos^2A - sin^2A cos2A = (5/13)^2 - (-12/13)^2 cos2A = 25/169 - 144/169 cos2A = -119/169

tg2A = 2 * tgA / (1 - tg^2A) tgA = sinA / cosA tgA = (-12/13) / (5/13) tgA = -12/5

tg2A = 2 * (-12/5) / (1 - (-12/5)^2) tg2A = -24/5 / (1 - 144/25) tg2A = -24/5 / (25 - 144)/25 tg2A = -24/5 / (-119/25) tg2A = 24/119 tg2A = 24/119

Ответ: sin2A = -120/169 cos2A = -119/169 tg2A = 24/119

с) Третий случай: tgA = -3/4, и П/2 < A < П

Для начала, найдем sinA и cosA, используя определение тангенса:

tgA = sinA / cosA -3/4 = sinA / cosA

sinA = (-3/4) * cosA

Теперь используем тригонометрическую идентичность: sin^2A + cos^2A = 1

((-3/4) * cosA)^2 + cos^2A = 1 (9/16) * cos^2A + cos^2A = 1 (25/16) * cos^2A = 1 cos^2A = 16/25 cosA = 4/5 (так как A находится во втором квадранте)

Теперь найдем sin2A, cos2A и tg2A, используя тригонометрические идентичности:

sin2A = 2 * sinA * cosA sin2A = 2 * (-3/4) * (4/5) sin2A = -24/20 sin2A = -6/5

cos2A = cos^2A - sin^2A cos2A = (4/5)^2 - (-6/5)^2 cos2A = 16/25 - 36/25 cos2A = -20/25 cos2A = -4/5

tg2A = 2 * tgA / (1 - tg^2A) tg2A = 2 * (-3/4) / (1 - (-3/4)^2) tg2A = -6/4 / (1 - 9/16) tg2A = -6/4 / (16 - 9)/16 tg2A = -6/4 / 7/16 tg2A = -24/7

Ответ: sin2A = -6/5 cos2A = -4/5 tg2A = -24/