Question

Докажите что значение выражения 3¹²-21³ делится нацело 60 ​

Answer 1

3¹² - 21³ = (3⁴)³ - 21³ = 81³ - 21³ = (81 - 21)(81² + 81*21 + 21²) =

= 60 * (81² + 81*21 + 21²),

так как один из множителей выражения равен 60, то и все выражение делится нацело на 60

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $3^{12} - 21^3$ делится нацело на 60, мы должны показать, что разность $3^{12} - 21^3$ является кратной 60, то есть делится на 60 без остатка.

Давайте разберемся с этим пошагово:

Шаг 1: Вычислим значение $3^{12}$. $3^{12} = 3 \times 3 \times 3 \times \ldots \times 3$ (12 раз)

Используя свойство степеней (степень степени), мы можем записать $3^{12} = (3^3)^4 = 27^4$.

Шаг 2: Вычислим значение $21^3$. $21^3 = 21 \times 21 \times 21$

Шаг 3: Найдем разность $3^{12} - 21^3$. $3^{12} - 21^3 = 27^4 - 21^3$

Шаг 4: Разложим $27^4$ и $21^3$ на множители. $27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$ $21^3 = 3^3 \times 7^3$

Шаг 5: Подставим значения обратно в выражение. $3^{12} - 21^3 = 3^{12} - (3^3 \times 7^3)$

Шаг 6: Применим формулу для разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. $3^{12} - 21^3 = 3^{12} - (3^3 \times 7^3) = (3^4 - 7^3) \times (3^8 + 3^4 \times 7^3 + 7^6)$

Теперь давайте рассмотрим $3^4 - 7^3$ и $3^8 + 3^4 \times 7^3 + 7^6$:

$3^4 = 81$ $7^3 = 343$

$3^4 - 7^3 = 81 - 343 = -262$

$3^8 = (3^4)^2 = 81^2 = 6561$ $7^6 = (7^3)^2 = 343^2 = 117649$

$3^8 + 3^4 \times 7^3 + 7^6 = 6561 + (81 \times 343) + 117649 = 131841$

Теперь мы можем переписать $3^{12} - 21^3$ как: $3^{12} - 21^3 = (-262) \times 131841$

Шаг 7: Проверим, делится ли $3^{12} - 21^3$ на 60.

Мы знаем, что 60 разлагается на множители как $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$