Question

Докажите что выражение х^4-2х^2 принимает лишь положительные значения.

Answer 1

И первое и второе число возведены в положительную степени, которая кратна 2, даже если число будет изначально отрицательным, то после возведения в квадрат(например), оно станет положительным

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $x^4 - 2x^2$ принимает лишь положительные значения, нужно показать, что оно всегда больше нуля для всех реальных значений $x$. Для этого применим метод математического анализа.

1. Найдем точки, где выражение равно нулю: $x^4 - 2x^2 = 0$

Факторизуем это выражение: $x^2(x^2 - 2) = 0$

Таким образом, мы получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ $x_2 = \sqrt{2}$ $x_3 = -\sqrt{2}$

2. Теперь рассмотрим интервалы между найденными точками и определим знак выражения в каждом из них.

• При $x < -\sqrt{2}$, $x^2$ и $(x^2 - 2)$ будут положительными (так как квадрат отрицательного числа и разность квадратов положительных чисел положительны). Следовательно, $x^4 - 2x^2$ будет положительным.
• При $-\sqrt{2} < x < 0$, $x^2$ будет положительным, а $(x^2 - 2)$ отрицательным. Следовательно, $x^4 - 2x^2$ будет положительным.
• При $0 < x < \sqrt{2}$, оба слагаемых $x^2$ и $(x^2 - 2)$ будут положительными, поэтому $x^4 - 2x^2$ будет положительным.
• При $x > \sqrt{2}$, $x^2$ будет положительным, а $(x^2 - 2)$ отрицательным. Следовательно, $x^4 - 2x^2$ будет положительным.

Таким образом, мы видим, что выражение $x^4 - 2x^2$ положительно для всех $x$, за исключением двух точек $x_1 = 0$ и $x_2 = -\sqrt{2}$, где оно равно нулю.

Для $x_1 = 0$: $0^4 - 2\cdot0^2 = 0$

Для $x_2 = -\sqrt{2}$: $\left(-\sqrt{2}\right)^4 - 2\cdot\left(-\sqrt{2}\right)^2 = 2 - 2\cdot2 = 2 - 4 = -2$

Таким образом, выражение $x^4 - 2x^2$ принимает лишь положительные значения за исключением двух точек, где оно равно нулю.