Question

Докажите, что при любых значениях x: а) Квадратный трехчлен "x^{2}-14x+50" принимает лишь положительные значения. б) Квадратный трехчлен "-x^{2}+6x-11 принимает лишь отрицательные значения.

Answer 1

Если дискриминант D квадр. трёхчлена  ах²+вх+с меньше 0 при a>0, то 
квадр. трёхчлен принимаеттолько полож. значения. А если D<0, a<0 , то 
квадр. трёхчлен принимает отрицательные значения.

$a)\; \; x^2-14x+50=0\\\\D=14^2-4\cdot 50=-4\ \textless \ 0\; ,\; \; a=1\ \textgreater \ 0\; \to \\\\x^2-14x+50\ \textgreater \ 0\\\\b)\; \; -x^2+6x-11=0\\\\D=36-4\cdot (-1)\cdot (-11)=-8\ \textless \ 0\; ,\; \; a=-1\ \textless \ 0\; \; \to \\\\-x^2+6x-11\ \textless \ 0$

Answer 2

А) x² -14x +50 =(x-7)² +1 ≥1.

* * * или D/4 =7² -50 = -1<0  и a=1>0. * * *
---
б) -x² +6x -11 = -(x -3)² -2 ≤ -2.

* * *или D/4 =3² -(-1)*(-11) = -2 <0  и a=-1<0. * * *

Answer 3

a) Доказательство: Квадратный трехчлен "x^2 - 14x + 50" принимает лишь положительные значения.

Для того чтобы доказать, что квадратный трехчлен "x^2 - 14x + 50" принимает только положительные значения, нужно показать, что у него нет корней или что его вершина находится выше оси абсцисс.

# Шаг 1: Найдем дискриминант трехчлена.

Дискриминант квадратного трехчлена вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты трехчлена.

В данном случае, a = 1, b = -14 и c = 50. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (-14)^2 - 4(1)(50) = 196 - 200 = -4

# Шаг 2: Проанализируем значение дискриминанта.

Если дискриминант отрицательный (D < 0), то квадратный трехчлен не имеет корней и его график не пересекает ось абсцисс. В таком случае, все значения трехчлена будут одного знака.

В нашем случае, D = -4, что означает, что квадратный трехчлен "x^2 - 14x + 50" не имеет корней и его график не пересекает ось абсцисс.

# Шаг 3: Проверим знак коэффициента a.

Так как a = 1 (положительное значение), то график трехчлена открывается вверх.

# Шаг 4: Определим координаты вершины трехчлена.

Вершина квадратного трехчлена находится по формуле x = -b / (2a). Подставим значения коэффициентов:

x = -(-14) / (2 * 1) = 14 / 2 = 7

Теперь найдем значение трехчлена при x = 7:

y = (7)^2 - 14(7) + 50 = 49 - 98 + 50 = 1

# Шаг 5: Сделаем вывод.

Таким образом, мы показали, что квадратный трехчлен "x^2 - 14x + 50" имеет вершину с положительным значением y = 1 и не пересекает ось абсцисс. Это означает, что все значения трехчлена положительны.

б) Доказательство: Квадратный трехчлен "-x^2 + 6x - 11" принимает лишь отрицательные значения.

Для того чтобы доказать, что квадратный трехчлен "-x^2 + 6x - 11" принимает только отрицательные значения, нужно показать, что у него нет корней или что его вершина находится ниже оси абсцисс.

# Шаг 1: Найдем дискриминант трехчлена.

Дискриминант квадратного трехчлена вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты трехчлена.

В данном случае, a = -1, b = 6 и c = -11. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (6)^2 - 4(-1)(-11) = 36 - 44 = -8

# Шаг 2: Проанализируем значение дискриминанта.

Если дискриминант отрицательный (D < 0), то квадратный трехчлен не имеет корней и его график не пересекает ось абсцисс. В таком случае, все значения трехчлена будут одного знака.

В нашем случае, D = -8, что означает, что квадратный трехчлен "-x^2 + 6x - 11" не имеет корней и его график не пересекает ось абсцисс.

# Шаг 3: Проверим знак коэффициента a.

Так как a = -1 (отрицательное значение), то график трехчлена открывается вниз.

# Шаг 4: Определим координаты вершины трехчлена.

Вершина квадратного трехчлена находится по формуле x = -b / (2a). Подставим значения коэффициентов:

x = -(6) / (2 * -1) = -6 / -2 = 3

Теперь найдем значение трехчлена при x = 3:

y = -(3)^2 + 6(3) - 11 = -9 + 18 - 11 = -2

# Шаг 5: Сделаем вывод.

Таким образом, мы показали, что квадратный трехчлен "-x^2 + 6x - 11" имеет вершину с отрицательным значением y = -2 и не пересекает ось абсцисс. Это означает, что все значения трехчлена отрицательны.