Question

Упростить СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА tg(П/2+а)ctg(П-а)/1+ctg^2(П+а)​

Answer 1

сщнсешшнснщсщнщнащнашнашнаше

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество тангенса суммы: tg(A + B) = (tgA + tgB) / (1 - tgA * tgB)

2. Тождество котангенса разности: ctg(A - B) = (ctgA * ctgB - 1) / (ctgA + ctgB)

Теперь применим эти тождества:

Выражение: tg(П/2 + а) * ctg(П - а) / (1 + ctg^2(П + а))

1. tg(П/2 + а) = tg(П/2) + tg(а) = 1/tg(а) + tg(а) = (1 + tg^2(а)) / tg(а)
2. ctg(П - а) = 1 / tg(П - а)

Подставим эти значения в исходное выражение:

(1 + tg^2(а)) / tg(а) * 1 / tg(П - а) / (1 + ctg^2(П + а))

Теперь заменим ctg на обратный тангенс:

ctg(П + а) = 1 / tg(П + а)

Подставим значение ctg(П + а) и упростим:

(1 + tg^2(а)) / tg(а) * 1 / tg(П - а) / (1 + (1 / tg(П + а))^2)

Теперь возведем ctg(П + а) в квадрат:

(1 + tg^2(а)) / tg(а) * 1 / tg(П - а) / (1 + 1 / tg^2(П + а))

Упростим еще дальше:

(1 + tg^2(а)) / tg(а) * 1 / tg(П - а) / (tg^2(П + а) + 1)

Используем известные тождества тангенса и котангенса:

tg^2(x) + 1 = sec^2(x)

где sec(x) - это секанс, обратная функция косинуса:

sec(x) = 1 / cos(x)

Тогда:

(1 + tg^2(а)) / tg(а) * 1 / tg(П - а) / sec^2(П + а)

Преобразуем sec^2(П + а) к более привычному виду:

sec^2(x) = 1 / cos^2(x)

Тогда:

(1 + tg^2(а)) / tg(а) * 1 / tg(П - а) * cos^2(П + а)

Теперь воспользуемся еще одним тригонометрическим тождеством:

tg(x) * ctg(x) = 1

Тогда:

tg(П - а) * ctg(П - а) = 1

Исходное выражение упростится к:

(1 + tg^2(а)) * cos^2(П + а)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Тогда:

(1 + tg^2(а)) * (1 - sin^2(П + а))

Теперь воспользуемся еще одним тригонометрическим тождеством:

tg^2(x) = 1 - sec^2(x)

Тогда:

(1 + (1 - sec^2(П + а))) * (1 - sin^2(П + а))

Теперь раскроем скобки:

(1 + 1 - sec^2(П + а)) * (1 - sin^2(П + а))

(2 - sec^2(П + а)) * (1 - sin^2(П + а))

Упростим еще:

2 - sec^2(П + а) - sec^2(П + а) * sin^2(П + а)

Используем тригонометрическое тождество:

sec^2(x) * sin^2(x) = 1

Тогда:

2 - sec^2(П + а) - 1

1 - sec^2(П + а)

Теперь применим известное тождество секанса:

sec^2(x) = 1 + tg^2(x)

Тогда:

1 - (1 + tg^2(П + а))

1 - 1 - tg^2(П + а)

Теперь еще раз воспользуемся тождеством тангенса:

tg^2(x) = 1 - sec^2(x)

Тогда:

1 - (1 - sec^2(П + а))

1 - 1 + tg^2(П + а)

Теперь результат упрощения:

tg^2(П + а)

Ответ: tg^2(П + а)