Question

Дослідити функцію за допомогою похідної та побудувати її графік: y=2x³-3x²

Answer 1

$></p> <p>Соответственно корни уравнения 0 и 1,5.</p> <p><img src=$

Нашли экстремумы функции, включая их координаты. Определение min и max смотри внизу.

$y''=12x-6=12(x-1/2)\\y(1/2)=2*1/8-3*1/4=(1-3)/4=-1/2$

Нашли точку перегибая, до она выпуклая, а после вогнутая.

Функция растёт примерно как x^3, чтобы понимать как быстро возрастает график.

Точки пересечения с осью Ох мы нашли, найдём точки пересечения с осью Оу: $y=2*0^3-3*0^2=0$

У нас есть всё, чтобы построить график.

Answer 2

Для дослідження функції y = 2x³ - 3x² за допомогою похідної, ми знайдемо похідну функції та вивчимо її властивості. Похідна допоможе нам зрозуміти поведінку функції, включаючи екстремуми, інтервали зростання та спадання, а також поведінку на границях деяких інтервалів.

1. Знаходження похідної: Для функції y = 2x³ - 3x² спочатку знайдемо похідну, використовуючи правила диференціювання:

y = 2x³ - 3x² y' = d/dx(2x³) - d/dx(3x²) y' = 6x² - 6x

2. Знаходження точок екстремуму: Точки екстремуму відповідають значенням x, при яких похідна дорівнює нулю або не існує (коли похідна має розрив). Знайдемо ці точки:

6x² - 6x = 0 6x(x - 1) = 0

x = 0 або x = 1

3. Вивчення знаків похідної: З'ясуємо знаки похідної на інтервалах:

a) x < 0: Підставимо x = -1 у похідну: y' = 6(-1)² - 6(-1) = 6 - (-6) = 12 (позитивне число) Таким чином, на цьому інтервалі функція зростає.

b) 0 < x < 1: Підставимо x = 0.5 у похідну: y' = 6(0.5)² - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 (позитивне число) На цьому інтервалі функція також зростає.

c) x > 1: Підставимо x = 2 у похідну: y' = 6(2)² - 6(2) = 6(4) - 12 = 12 (позитивне число) На цьому інтервалі функція зростає.

4. Знаходження значення функції на границях інтервалів: Для визначення поведінки функції на границях інтервалів порівняємо значення функції при x = 0, x = 1 та x = 2:

При x = 0: y = 2(0)³ - 3(0)² = 0

При x = 1: y = 2(1)³ - 3(1)² = 2 - 3 = -1

При x = 2: y = 2(2)³ - 3(2)² = 16 - 12 = 4

Тепер, маючи всі дані, побудуємо графік функції y = 2x³ - 3x² та проведемо аналіз:

(Вкажіть, якщо вам потрібні додаткові деталі щодо побудови графіка.)