Question

Четвертий член геометричної прогресії у 8 разів більший за перший член сума третього й четвертого членів цієї прогресії на 14 менша за їхній добуток визначте перший член прогресії якщо всі її члени є додатніми числами

Answer 1

Ответ:

$\frac{7}{8}$

Объяснение:

$q_n>0; b_4=b_1*8; b_3b_4-(b_3+b_4)=14$

$b_n=b_1*q^{n-1}$

$b_3=b_1*q^{3-1}=b_1*q^2$

$b_4=b_1*q^{4-1}=b_1*q^3$

$b_1*q^3=b_1*8;q^3=8=2^3;q=2$

$b_4=8b_1;b_3=b_1*2^2=4b_1$

$b_3b_4-(b_3+b_4)=14$

$(4b_1)*(8b_1)-(4b_1+8b_1)=14$

$32b^2_1-12b_1-14=0;$ |:2

$16b^2_1-6b_1-7=0;$

$D=(-6)^2-4*16*(-7)=36+448=484=22^2$

$b_1(1)=\frac{-(-6)-22}{2*16}$ -не подходит

$b_1(2)=\frac{-(-6)+22}{2*16}=\frac{28}{32}=\frac{7}{8}$

$b_1=\frac{7}{8}$

=>$b_3=7.5; b_4=7;$

$3.5*7-(3.5+7)=24.5-10.5=14$

Answer 2

Позначимо перший член геометричної прогресії як "a", а знаменник прогресії (збільшення між сусідніми членами) як "r". Тоді четвертий член прогресії буде "ar^3" (так як він в 8 разів більший за перший член "a"), а третій член буде "ar^2".

За умовою, сума третього і четвертого членів прогресії є на 14 меншою за їхній добуток:

ar^2 + ar^3 = ar^2 * ar^3 - 14

Давайте спростимо це рівняння:

ar^2 + ar^3 = a * r^(2+3) - 14 ar^2 + ar^3 = a * r^5 - 14

Також нам дано, що четвертий член прогресії є в 8 разів більший за перший член:

ar^3 = 8a

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими "a" і "r":

1. ar^2 + ar^3 = a * r^5 - 14
2. ar^3 = 8a

Давайте знайдемо "r" з другого рівняння і підставимо його у перше рівняння:

ar^3 = 8a

r^3 = 8 r = 2 (звідси випливає, що "r" додатне, оскільки всі члени прогресії є додатніми числами)

Тепер підставимо "r = 2" у перше рівняння:

ar^2 + ar^3 = a * r^5 - 14 a * 2^2 + a * 2^3 = a * 2^5 - 14 4a + 8a = 32a - 14 12a = 32a - 14

Тепер виразимо "a":

14 = 32a - 12a 14 = 20a a = 14 / 20 a = 0.7

Таким чином, перший член геометричної прогресії дорівнює 0.7, а знаменник прогресії "r" дорівнює 2. Отже, прогресія виглядає так: 0.7, 1.4, 2.8, 5.6, ...