Question

Интеграл ∫корень кубический из (1+х)^2

Answer 1

∫∛(1+х)²dx=∫$(1+x)^{2/3}d(1+x)$ =1/(2/3+1)*$(1+x)^{2/3+1} )$ =3/5*$(x+1)^{\frac{5}{3} }$

d(1+x)=dx

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫∛(1+x)^2 dx сначала упростим выражение под корнем.

(1+x)^2 = (1+x)*(1+x) = 1 + 2x + x^2

Теперь выражение под кубическим корнем: ∛(1+x)^2 = ∛(1 + 2x + x^2)

Чтобы вычислить данный интеграл, давайте введем замену:

Пусть u = 1 + 2x + x^2

Тогда, производная от u по x: du/dx = 2 + 2x

Теперь выразим dx через du:

dx = du / (2 + 2x)

Подставим новые переменные в наш интеграл:

∫∛(1 + 2x + x^2) dx = ∫∛u * (du / (2 + 2x))

Теперь можем разделить на множитель под корнем:

∫∛u * (du / (2 + 2x)) = (1/2) ∫u^(1/3) * du

Интегрирование u^(1/3) даёт нам:

(1/2) ∫u^(1/3) du = (1/2) * (3/4) * u^(4/3) + C

Теперь вернемся к исходной переменной x:

(1/2) * (3/4) * u^(4/3) + C = (3/8) * (1 + 2x + x^2)^(4/3) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.