Question

Вычислительной значение производной функции f(x)=(2x+1)sin x при заданном значении аргумента x0=0

Answer 1

$f(x)=(2x+1)\sin{x}\\f'(x)=2\sin{x}+(2x+1)\cos{x}\\f'(0)=2*0+(2*0+1)*1=1$

Ответ: 1.

Answer 2

Для вычисления значения производной функции f(x) = (2x + 1)sin(x) в точке x0 = 0, воспользуемся определением производной.

Производная функции f(x) по переменной x в точке x0 определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

f'(x0) = lim(h -> 0) [(f(x0 + h) - f(x0)) / h]

где h представляет собой приращение аргумента.

Теперь, подставим значения функции f(x) и точки x0 = 0:

f(x) = (2x + 1)sin(x) x0 = 0

Теперь вычислим производную:

f'(x) = lim(h -> 0) [(f(0 + h) - f(0)) / h] f'(x) = lim(h -> 0) [((2(0 + h) + 1)sin(0 + h) - ((2 * 0) + 1)sin(0)) / h] f'(x) = lim(h -> 0) [((2h + 1)sin(h) - 1 * sin(0)) / h]

Теперь заметим, что sin(0) = 0, поэтому получим:

f'(x) = lim(h -> 0) [((2h + 1)sin(h) - 0) / h] f'(x) = lim(h -> 0) [(2h + 1)sin(h) / h]

Теперь вычислим предел. Когда h стремится к нулю, sin(h) также стремится к нулю, и предел можно найти с помощью правила Лопиталя. Производная числителя и знаменателя будет:

f'(x) = lim(h -> 0) [2sin(h) + (2h + 1)cos(h)] / 1 f'(x) = 2sin(0) + (2 * 0 + 1)cos(0) f'(x) = 0 + 1 f'(x) = 1

Таким образом, значение производной функции f(x) = (2x + 1)sin(x) в точке x0 = 0 равно 1.