Question

Написать уравнение касательной к графику функции в т.x0=3 y=x^2+2x-8

Answer 1

$y=x^2+2x-8;\\y'=2x+2-0=2x+2\\y_k=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)\\x_0=3\\y'(x_0)=2*3+2=8\\y(x_0)=3^2+2*3-8=1+6=7\\y_k=8(x-3)+7=8x-24+7=\\=8x-17$

Ответ: f(x)=8x-17

Answer 2

Запишем уравнения касательной в общем виде:  

yk = y0 + y'(x0)(x - x0)  

По условию задачи x0 = 3, тогда y0 = 7  

Теперь найдем производную:  

y' = (x2+2*x-8)' = 2*x+2  

следовательно:  

f'(3) = 2*3+2 = 8  

В результате имеем:  

yk = y0 + y'(x0)(x - x0)  

yk = 7 + 8(x - 3)

yk=8x-17

Answer 3

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке $x_0 = 3$ необходимо определить значение производной функции в этой точке и затем использовать его для составления уравнения касательной.

Шаги для нахождения уравнения касательной:

1. Найдите первую производную функции $y = x^2 + 2x - 8$.
2. Вычислите значение производной в точке $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент касательной.
3. Зная угловой коэффициент и точку $x_0 = 3$, составьте уравнение касательной.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = x^2 + 2x - 8$:

$y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x - 8) = 2x + 2.$

Шаг 2: Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$y'(x_0) = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8.$

Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной, который равен 8.

Шаг 3: Составим уравнение касательной, используя точку $(3, f(3))$ и угловой коэффициент 8:

Уравнение касательной имеет форму $y - y_0 = m \cdot (x - x_0)$, где $m$ - угловой коэффициент, а $(x_0, y_0)$ - координаты точки, к которой касается касательная.

Подставляем значения:

$y - f(3) = 8 \cdot (x - 3).$

Теперь остается только подставить функцию $f(x) = x^2 + 2x - 8$ и точку $(x_0, y_0) = (3, f(3))$ и окончательно записать уравнение касательной:

$y - (3^2 + 2 \cdot 3 - 8) = 8 \cdot (x - 3).$

Сократим выражение:

$y - (9 + 6 - 8) = 8 \cdot (x - 3).$

$y - 7 = 8 \cdot (x - 3).$

$y = 8x - 24 + 7.$

$y = 8x - 17.$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = x^2 + 2x - 8$ в точке $x_0 = 3$ равно $y = 8x - 17$.