Question

Докажите, что выражение 40+a²-12a при любых значениях a принимает положительные значения ​

Answer 1

а²-12а+40=а²-12а+36+4=(а-6)²+4 >0 при любых а∈R

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 40 + a² - 12a принимает положительные значения при любых значениях a, мы должны показать, что его значение всегда больше нуля (положительного числа). Для этого рассмотрим выражение и проведем несколько преобразований:

Выражение: 40 + a² - 12a

Для начала выразим его в виде квадратного трехчлена (квадратичной функции): 40 + a² - 12a = a² - 12a + 40

Затем попробуем применить завершающее квадратное преобразование, которое позволяет нам представить квадратичную функцию в виде суммы квадрата некоторого выражения и постоянного положительного числа. Для этого найдем такое число c, чтобы выражение a² - 12a + c являлось полным квадратом.

Чтобы найти c, возьмем половину коэффициента при a в выражении (-12a) и возведем ее в квадрат: (-12a)/2 = -6a (-6a)² = 36a²

Теперь добавим и вычтем полученное значение из исходного выражения: a² - 12a + 40 = a² - 12a + 36a² + 40 - 36a² = (a² - 12a + 36a²) + (40 - 36a²)

Теперь в первых скобках у нас полный квадрат: (a - 6a)² = (a - 6a)(a - 6a) = a² - 12a + 36

Таким образом, наше выражение преобразуется к виду: a² - 12a + 40 = (a - 6a)² + (40 - 36a²)

Теперь видно, что первое слагаемое является квадратом выражения (a - 6a), а второе слагаемое (40 - 36a²) всегда положительно при любых значениях a, так как 36a² всегда будет больше 40 (так как квадрат любого числа всегда положителен, и умножение на положительное число сохраняет неравенства).

Таким образом, мы доказали, что выражение 40 + a² - 12a принимает положительные значения при любых значениях a.