Question

Найдите точки экстриума функции у=(х+3)²(х-5) Даю 40баллов

Answer 1

$y=(x+3)^2(x-5)\\\\y'=2(x+3)(x-5)+(x+3)^2\cdot 1=(x+3)(2x-10+x+3)=\\\\=(x+3)(3x-7)=0\; \; \to \; \; \; x_1=-3\; ,\; x_2=\frac{7}{3}\\\\znaki\; y':\; \; \; +++(-3)---(\frac{7}{3})+++\\\\.\qquad \qquad \quad \; \; \nearrow \; \; \; (-3)\; \; \searrow \; \; \; (\frac{7}{3})\; \; \nearrow \\\\x_{max}=-3\; \; ,\; \; \; x_{min}=\frac{7}{3}\\\\y_{max}=y(-3)=(-3+3)^2(-3-5)=0\\\\y_{min}=y(\frac{7}{3})=(\frac{7}{3}+3)^2(\frac{7}{3}-5)=(\frac{16}{3})^2\cdot \frac{-8}{3}=-\frac{2048}{27}=-75\frac{23}{27}$

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции у = (х + 3)²(х - 5), сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю. Точки экстремума соответствуют местам, где производная равна нулю.

1. Найдем производную функции у по х: у'(x) = d/dx [(x + 3)²(x - 5)] у'(x) = 2(x + 3)(x - 5) + (x + 3)²

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 0 = 2(x + 3)(x - 5) + (x + 3)²

3. Раскроем скобки и упростим уравнение: 0 = 2(x² - 2x - 15) + (x² + 6x + 9) 0 = 2x² - 4x - 30 + x² + 6x + 9 0 = 3x² + 2x - 21

4. Теперь решим квадратное уравнение: 3x² + 2x - 21 = 0

Для решения уравнения используем формулу дискриминанта: Дискриминант (D) = b² - 4ac где a = 3, b = 2, c = -21

D = 2² - 4 * 3 * (-21) D = 4 + 252 D = 256

Теперь найдем значения х, подставив значения a, b и D в формулу корней: х = (-b ± √D) / 2a х = (-2 ± √256) / 2 * 3 х = (-2 ± 16) / 6

Таким образом, получаем два значения х:

1. х₁ = ( -2 + 16) / 6 = 14 / 6 = 7/3 ≈ 2.33
2. х₂ = ( -2 - 16) / 6 = -18 / 6 = -3

Теперь найдем соответствующие значения у: у₁ = (7/3 + 3)²(7/3 - 5) ≈ (8.33)²(-2.67) ≈ -19.95 у₂ = (-3 + 3)²(-3 - 5) = 0

Таким образом, точки экстремума функции у = (х + 3)²(х - 5) это (7/3, -19.95) и (-3, 0). Обратите внимание, что одна из точек (х₂, у₂) является точкой перегиба, а не точкой экстремума, так как производная в этой точке равна нулю, но есть другие точки с различными значениями у, что указывает на перегиб функции.