Question

Найдите точки экстриума функции у=(х+3)²(х-5) Даю 40баллов

Answer 1

$y=(x+3)^2(x-5)\\\\y'=2(x+3)(x-5)+(x+3)^2\cdot 1=(x+3)(2x-10+x+3)=\\\\=(x+3)(3x-7)=0\; \; \to \; \; \; x_1=-3\; ,\; x_2=\frac{7}{3}\\\\znaki\; y':\; \; \; +++(-3)---(\frac{7}{3})+++\\\\.\qquad \qquad \quad \; \; \nearrow \; \; \; (-3)\; \; \searrow \; \; \; (\frac{7}{3})\; \; \nearrow \\\\x_{max}=-3\; \; ,\; \; \; x_{min}=\frac{7}{3}\\\\y_{max}=y(-3)=(-3+3)^2(-3-5)=0\\\\y_{min}=y(\frac{7}{3})=(\frac{7}{3}+3)^2(\frac{7}{3}-5)=(\frac{16}{3})^2\cdot \frac{-8}{3}=-\frac{2048}{27}=-75\frac{23}{27}$

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверяем значение второй производной, чтобы определить, является ли каждая критическая точка точкой максимума или минимума.

Дана функция у = (x + 3)² * (x - 5).

1. Найдем производную функции у по переменной x: у' = d/dx [(x + 3)² * (x - 5)] у' = 2(x + 3)(x - 5) + (x + 3)²

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: 2(x + 3)(x - 5) + (x + 3)² = 0

3. Решим уравнение: 2(x + 3)(x - 5) + (x + 3)² = 0 2(x² - 5x + 3x - 15) + (x² + 6x + 9) = 0 2x² - 10x + 6x - 30 + x² + 6x + 9 = 0 3x² + 2x - 21 = 0

Теперь найдем точки, где у' равна нулю, решив уравнение 3x² + 2x - 21 = 0.

Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант (D) = b² - 4ac где a = 3, b = 2 и c = -21.

D = 2² - 4 * 3 * -21 D = 4 + 252 D = 256

Так как дискриминант положителен (D > 0), у нас есть два вещественных корня.

x₁ = (-b + √D) / 2a x₁ = (-2 + √256) / 2 * 3 x₁ = (-2 + 16) / 6 x₁ = 14 / 6 x₁ ≈ 2.3333

x₂ = (-b - √D) / 2a x₂ = (-2 - √256) / 2 * 3 x₂ = (-2 - 16) / 6 x₂ = -18 / 6 x₂ = -3

Таким образом, у нас две критические точки: x ≈ 2.3333 и x = -3.

4. Проверим значение второй производной в каждой критической точке, чтобы определить тип экстремума.

Вторая производная у'' = d²/dx² [(x + 3)² * (x - 5)] у'' = d/dx [2(x + 3)(x - 5) + (x + 3)²] у'' = 2(x - 5) + 2(x + 3)

Теперь подставим значения x в у'' и определим тип экстремума:

а) При x ≈ 2.3333: у''(x ≈ 2.3333) = 2(2.3333 - 5) + 2(2.3333 + 3) = 2(-2.6667) + 2(5.3333) ≈ 6.0002

Так как у''(x ≈ 2.3333) > 0, это означает, что функция у имеет минимум в точке x ≈ 2.3333.

б) При x = -3: у''(x = -3) = 2(-3 - 5) + 2(-3 + 3) = 2(-8) + 2(0) = -16

Так как у''(x = -3) < 0, это означает, что функция у имеет максимум в точке x = -3.

Таким образом, точка экстремума минимума находится при x ≈ 2.3333, а точка экстремума максимума находится при x = -3.