Question

Написано 2018-значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами этого числа, идущими в той же последовательности, делится на 31 или 19. Может ли число быть составленным только из нечётных цифр?

Answer 1

Перечислим все двузначные числа, состоящие из нечетных цифр и делящиеся на 19 (это 19, 57 и 95) или на 31 (это 31 и 93). Замечаем цепочку чисел 19 - 93 - 31, составляем тройку цифр 193 и пишем ее столько раз, сколько потребуется, чтобы получить 2018-значное число. Поскольку 2018=3·672+2, поместится 672 таких троек, а из 673-й тройки придется взять только две цифры - 1 и 9.

Ответ: Может

Answer 2

Да, число может быть составленным только из нечетных цифр и удовлетворять условию задачи.

Поскольку число состоит из 2018 цифр, то оно представляет собой длинное число, где каждая цифра является отдельным разрядом. Таким образом, мы можем представить это число в виде:

abcdefg... (2018 цифр)

Где a, b, c, d, e, f, g - нечетные цифры (1, 3, 5, 7 или 9).

Теперь давайте рассмотрим двузначные числа, образованные соседними цифрами, идущими в той же последовательности. Из нашего числа мы можем образовать следующие двузначные числа:

ab, bc, cd, de, ef, fg

Теперь давайте проверим, делится ли каждое из этих двузначных чисел на 31 или 19.

1. ab = 10a + b (где a и b - цифры числа) Поскольку a и b - нечетные цифры, то 10a и b тоже нечетные. Сумма двузначного числа (ab) будет четной. Ни одно из двузначных чисел (ab, bc, cd, de, ef, fg) не может делиться на 31 или 19, так как они все четные.

Таким образом, невозможно составить число из 2018 нечетных цифр, которое удовлетворяло бы условию задачи.