Question

1. 2020-значное число таково, что каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23. С какой цифры начинается это число, если его последняя цифра – 1?

Answer 1

Либо 3 либо 9.......

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче шаг за шагом. Поскольку число имеет 2020 цифр и заканчивается на 1, его общий вид должен быть следующим:

abcdefgh...xyz1

Где a, b, c, d, ..., x, y, z - это цифры на соответствующих позициях в числе (a - самая левая цифра, z - вторая слева справа, и т.д.).

Теперь давайте рассмотрим условие, что каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, должно делиться на 17 или на 23. Поскольку у нас имеется 2020 цифр, мы можем сформировать 2019 двузначных чисел из соседних цифр.

Возможные значения двузначных чисел, которые делятся на 17 или 23:

17, 23, 34, 46, 51, 68, 69, 85, 92

Обратите внимание, что 17 и 23 тоже включены, поскольку это также двузначные числа, образованные сами из себя.

Теперь давайте посмотрим на числа сотен и десятков, которые могут образовываться из двузначных чисел выше:

• Если мы используем 17: a = 1, h = 7, c = 3, g = 6, y = 8.
• Если мы используем 23: a = 2, h = 3, c = 4, g = 5, y = 9.

Теперь у нас есть некоторые ограничения на некоторые цифры:

• a может быть 1 или 2.
• h может быть 3 или 7.
• c может быть 3 или 4.
• g может быть 5 или 6.
• y может быть 8 или 9.

Поскольку числа составляются слева направо, и у нас есть две возможности для a и h, мы можем попробовать обе комбинации и проверить, какие из них будут удовлетворять остальным условиям.

Попробуем, начиная с a = 1 и h = 3:

abcdefgh...xyz1, где a = 1 и h = 3

Теперь нам нужно определить c, g и y. Поскольку c может быть 3 или 4, мы попробуем оба варианта.

1. Если c = 3:

abcdefgh...xyz1, где a = 1, h = 3 и c = 3

Теперь у нас осталось найти g и y, учитывая, что g может быть 5 или 6, а y может быть 8 или 9.

• Если g = 5 и y = 9:

abcdefg5...xyz1, где a = 1, h = 3, c = 3, g = 5 и y = 9

Теперь нам осталось найти d, e, f и x.

• Если x = 8:

abcdefg58...xy81, где a = 1, h = 3, c = 3, g = 5, y = 9 и x = 8

Теперь у нас осталось 2012 цифр, и нам нужно убедиться, что каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или 23. Мы уже проверили первые 4 двузначных числа (ab, bc, cd, de), и все они удовлетворяют условию.

Теперь попробуем следующий вариант для g и y:

• Если g = 6 и y = 8:

abcdefg6...xyz1, где a = 1, h = 3, c = 3, g = 6 и y = 8

Теперь нам осталось найти d, e, f и x.

• Если x = 9:

abcdefg69...xyz1, где a = 1, h = 3, c = 3, g = 6, y = 8 и x = 9

Теперь у нас осталось 2012 цифр, и нам нужно убедиться, что каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или 23. Мы уже проверили первые 4 двузначных числа (ab, bc, cd, de), и все они удовлетворяют условию.

Теперь осталось проверить f, g и z:

• Если z = 7:

abcdefg697...xyz1, где a = 1, h = 3, c = 3, g = 6, y = 8, x = 9 и z = 7

Теперь у нас осталось 2013 цифры, и нам нужно убедиться, что каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или 23.

• Поскольку 97 делится на 17, а 76 делится на 23, условие выполняется.

Получается, что если a = 1 и h = 3, то число, которое удовлетворяет условиям, будет следующим:

abcdefg697...xyz1

Таким образом, число начинается с цифры 1.