Question

Найти cos^2a-sin^2a, если tg2a=0,75 0<а<пи/4

Answer 1

Cos^2 a-Sin^2 a=Cos2a,   1+tg^2 2a= 1/cos^2 2a,  1+3/4=1/cos^2 2a,

1/cos^2 2a=7/4,   cos^2 2a=4/7,  cos2a=2/V7,   (V-корень)

Answer 2

Для нахождения выражения cos^2a - sin^2a, используем тригонометрические тождества, связанные с двойными углами:

1. tg(2a) = 2 * tg(a) / (1 - tg^2(a))
2. cos^2(a) + sin^2(a) = 1 (тождество Пифагора)

Мы знаем, что tg(2a) = 0.75 и 0 < a < π/4, что означает, что аргумент а лежит в первой четверти.

Итак, давайте найдем tg(a):

tg(2a) = 0.75 2 * tg(a) / (1 - tg^2(a)) = 0.75

Далее, решим уравнение относительно tg(a):

2 * tg(a) = 0.75 - 0.75 * tg^2(a) 2 * tg(a) = 0.75(1 - tg^2(a)) tg^2(a) + 2 * tg(a) - 0.75 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

tg(a) = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-0.75))) / 2 tg(a) = (-2 ± √(4 + 3)) / 2 tg(a) = (-2 ± √7) / 2

Учитывая, что аргумент а находится в первой четверти, выбираем положительное значение:

tg(a) = (-2 + √7) / 2

Теперь, чтобы найти cos^2(a) и sin^2(a), воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

cos^2(a) = 1 / (1 + tg^2(a)) sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

Вычислим cos^2(a):

cos^2(a) = 1 / (1 + ((-2 + √7) / 2)^2) cos^2(a) = 1 / (1 + (4 - 4√7 + 7) / 4) cos^2(a) = 1 / (1 + (11 - 4√7) / 4) cos^2(a) = 1 / ((15 - 4√7) / 4) cos^2(a) = 4 / (15 - 4√7)

Теперь вычислим sin^2(a):

sin^2(a) = 1 - cos^2(a) sin^2(a) = 1 - 4 / (15 - 4√7) sin^2(a) = (15 - 4√7) / (15 - 4√7) - 4 / (15 - 4√7) sin^2(a) = (15 - 4√7 - 4) / (15 - 4√7) sin^2(a) = (11 - 4√7) / (15 - 4√7)

Таким образом, ответ:

cos^2(a) - sin^2(a) = 4 / (15 - 4√7) - (11 - 4√7) / (15 - 4√7) cos^2(a) - sin^2(a) = (4 - 11 + 4√7) / (15 - 4√7) cos^2(a) - sin^2(a) = (4√7 - 7) / (15 - 4√7)