Question

Дан прямоугольный параллелепипед абсда1б1с1д1 Аб=бс=3√2Бд1=12Найти расстояние между прямой бд1 и аа1 (требуется также рисунок)

Answer 1

ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед. АВ = ВС = 3√2.

ВD₁ = 12. Найти угол между BD₁ и AA₁

Чтобы показать искомый угол, надо АА₁ перенести параллельно в точку В. Так что нужен угол В₁ВD₁

B₁D₁ - диагональ квадрата со стороной 3√2. Ищем её по т Пифагора.

B₁D₁² = (3√2)² + (3√2)² =18+18 = 36,  B₁D₁ = 6

ΔВ₁ВD₁ - прямоугольный.   В этом треугольнике    B₁D₁ = 6,  ВD₁ = 12

Катет = половине гипотенузы, значит, ∠В₁ВD₁  = 30°

Answer 2

Для начала давайте построим трехмерную модель параллелепипеда, чтобы лучше понять задачу. По условию, у нас есть прямоугольный параллелепипед ABCD, где AB = BC = 3√2 и BD1 = 12. Параллелепипед имеет следующие вершины:

A(0, 0, 0) B(3√2, 0, 0) C(3√2, 3√2, 0) D(0, 3√2, 0) A1(0, 0, 12)

Теперь нарисуем этот параллелепипед:

scssCopy code
           C(3√2, 3√2, 0)_________________ D(0, 3√2, 0)
            /                           /
           /                           / 
          /                           /
         /                           /
A(0, 0, 0)________________________B(3√2, 0, 0)
                        A1(0, 0, 12)

Для того чтобы найти расстояние между прямой BD1 и прямой AA1, воспользуемся формулой для расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Формула расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве:

cssCopy code
d = |(A1 - A) · n| / |n|,

где A и A1 - произвольные точки на прямых, n - вектор, параллельный обеим прямым.

В нашем случае, A1 = (0, 0, 12) и A - произвольная точка на прямой BD1. Теперь найдем вектор n.

Вектор n = (BD1) = (0 - 0, 3√2 - 0, 0 - 12) = (0, 3√2, -12).

Теперь найдем произвольную точку на прямой BD1, например, B(3√2, 0, 0). Подставим значения в формулу:

scssCopy code
d = |(A1 - B) · n| / |n|
  = |(0 - 3√2, 0 - 0, 12 - 0) · (0, 3√2, -12)| / |(0, 3√2, -12)|
  = |(-3√2, 0, 12) · (0, 3√2, -12)| / |(0, 3√2, -12)|
  = |0 + 0 - 144| / √((0)^2 + (3√2)^2 + (-12)^2)
  = 144 / √(0 + 18 + 144)
  = 144 / √162
  = 48 / 3√2
  = 16√2.

Таким образом, расстояние между прямой BD1 и прямой AA1 равно 16√2.