Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=5^x на [0,2].

Answer 1

Экспонента возрастает, потому максимум в точке 2 а минимум в точке 0.

Итого, максимум - это 5^2 = 25, минимум - 5^0=1

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = 5^x на интервале [0, 2], нужно вычислить значение функции для граничных точек интервала и найти локальные экстремумы на данном интервале.

1. Вычисление значения функции для граничных точек:

   • Для x = 0: y = 5^0 = 1
   • Для x = 2: y = 5^2 = 25

2. Найдем локальные экстремумы, находящиеся внутри интервала [0, 2]. Для этого найдем производную функции и решим уравнение f'(x) = 0:

Поскольку y = 5^x, то f(x) = 5^x. Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции: f'(x) = d/dx (5^x) = ln(5) * 5^x

Теперь решим уравнение f'(x) = 0: ln(5) * 5^x = 0

Так как ln(5) является константой и не равно нулю, то 5^x не может быть равным нулю. Следовательно, на интервале [0, 2] нет точек, где производная равна нулю, и, следовательно, нет локальных экстремумов внутри этого интервала.

Таким образом, наибольшее значение функции y=5^x на интервале [0, 2] равно 25 (достигается при x = 2), а наименьшее значение функции равно 1 (достигается при x = 0).