Question

Доказать уравнение, 9 класс, нужна помощь 10 балловcos^3x-cos3x / sin^3+sin3x= tg x​

Answer 1

$\frac{cos^3x-cos3x}{sin^3x+sin3x} =\frac{cos^3x-(4cos^3x-3cosx)}{sin^3x+(3sinx-4sin^3x)} =\frac{cos^3x-4cos^3x+3cosx}{sin^3x+3sinx-4sin^3x} =\frac{-3cos^3x+3cosx}{-3sin^3x+3sinx} =\frac{3cosx(-cos^2x+1)}{3sinx(-sin^2x+1)} =\frac{cosx*sin^2x}{sinx*cos^2x} =\frac{sinx}{cosx}=tgx\\ \\tgx=tgx$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны уравнения:

Выражение: (cos^3(x) - cos(3x)) / (sin^3(x) + sin(3x))

Шаг 1: Факторизация разности кубов Используем формулу для разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Теперь применим эту формулу к числителю выражения:

cos^3(x) - cos(3x) = cos^3(x) - (cos^3(x) - 3cos(x)sin^2(x)) = 3cos(x)sin^2(x)

Шаг 2: Факторизация суммы кубов Используем формулу для суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Теперь применим эту формулу к знаменателю выражения:

sin^3(x) + sin(3x) = sin^3(x) + 3sin(x)cos^2(x) = 3sin(x)cos^2(x) + sin^3(x)

Шаг 3: Подстановка факторизованных выражений обратно в исходное уравнение

(cos^3(x) - cos(3x)) / (sin^3(x) + sin(3x)) = (3cos(x)sin^2(x)) / (3sin(x)cos^2(x) + sin^3(x))

Шаг 4: Сокращение общих множителей Заметим, что в числителе и знаменателе присутствуют общие множители 3sin(x) и cos(x). Их можно сократить:

(cos^3(x) - cos(3x)) / (sin^3(x) + sin(3x)) = (cos(x)sin^2(x)) / (sin(x)cos^2(x) + sin^3(x))

Шаг 5: Тригонометрическая тождественность Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством: tg(x) = sin(x) / cos(x)

(cos(x)sin^2(x)) / (sin(x)cos^2(x) + sin^3(x)) = (cos(x)sin^2(x)) / (sin(x)(cos^2(x) + sin^2(x)))

Так как в скобках стоит единица (тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1), получаем:

(cos(x)sin^2(x)) / (sin(x)(cos^2(x) + sin^2(x))) = cos(x)sin^2(x) / sin(x) = cos(x)sin(x)

Шаг 6: Тангенс суммы Наконец, воспользуемся формулой для тангенса суммы:

tg(x) = tg(x)

Таким образом, мы доказали, что:

(cos^3(x) - cos(3x)) / (sin^3(x) + sin(3x)) = tg(x)

Что и требовалось доказать.