Question

При яких значеннях x похідна функції: додатна?

Answer 1

Область визначення: D(f) = (-∞; -1)U(-1; ∞)

f '(x) = $\((\frac{x^2-8}{x+1})' =\frac{(x^2-8)'(x+1)-(x^2-8)(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{2x(x+1)-(x^2-8)}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2+8}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+8}{(x+1)^2}\)$

f '(x) > 0;

$\(\frac{x^2+2x+8}{(x+1)^2}>0\)$

Оскільки дискримінант чисельника від'ємний (D = -28), то знак чисельника, x² + 2x + 8, співпадає  із знаком першого коефіцієнта (a=1), тобто чисельник приймає тільки додатні значення при всіх значеннях аргументу з області визначення даної функції. Знаменник, очевидно, також додатний при всіх значеннях аргументу з області визначення даної функції.

Отже, похідна даної функції додатна при х ∈ (-∞; -1)U(-1; ∞).

Answer 2

Для знаходження тих значень x, при яких похідна функції є додатною, необхідно знайти інтервали, на яких функція має додатню похідну. При цьому, нам необхідно знати саму функцію.

Але я можу пояснити загальний підхід до вирішення таких задач. Щоб знайти інтервали, де похідна є додатною, слід виконати такі кроки:

1. Знайти першу похідну функції. Це виконується шляхом знаходження похідної від заданої функції за допомогою правил диференціювання.

2. Знайти критичні точки функції, де похідна дорівнює нулю або не існує.

3. Вивчити знаки похідної на інтервалах між критичними точками, використовуючи тестування знаків.

4. Знайти інтервали, де похідна є додатною, а це відповідатиме інтервалам з позитивним знаком похідної.

Якщо ви надаєте конкретну функцію, я зможу допомогти вам знайти моменти, коли її похідна є додатною.