Question

Разложить на множители: 1)a+b+a²-b² 2)9a²-6ab+b²-16 3)x³y²-x³-xy²+x 4)1-x²+4xy-4y²

Answer 1

$1)\ a+b+a^2-b^2=(a-b)(a+b)+a+b=(1+a-b)(a+b)\\2)\ 9a^2-6ab+b^2-16=(3a-b)(3a-b)-16=(3a-b-a)(3a-b+4)\\3)\ x^3y^2-x^3-xy^2+x=x(x^2y^2-x^2-y^2+1)=(y-1)(y+1)(x-1)(x+1)x\\4)\ 1-x^2+4xy-4y^2=1-(x-2y)(x-2y)=(1-x+2y)(1+x-2y)$

Answer 2

Давайте разложим данные выражения на множители:

1. a + b + a² - b²

Сначала попробуем преобразовать выражение, чтобы использовать формулу разности квадратов (a² - b² = (a + b)(a - b)):

a + b + a² - b² = a + b + (a + b)(a - b)

Теперь мы можем применить общий множитель (a + b) к последним двум слагаемым:

a + b + (a + b)(a - b) = a + b + a(a - b) + b(a - b)

Применяем дистрибутивное свойство:

a + b + a(a - b) + b(a - b) = a + b + a² - ab + ab - b²

Теперь некоторые слагаемые сокращаются:

a + b + a² - ab + ab - b² = a² - b²

Таким образом, выражение сводится к разности квадратов: a² - b².

2. 9a² - 6ab + b² - 16

Данное выражение не является разностью квадратов, но можно попробовать разложить его путем группировки слагаемых:

9a² - 6ab + b² - 16 = (9a² - 6ab) + (b² - 16)

Теперь обратим внимание на первое выражение в скобках и попробуем сократить общий множитель:

9a² - 6ab = 3a(3a - 2b)

Итак, выражение преобразуется к:

3a(3a - 2b) + (b² - 16)

Теперь, второе выражение (b² - 16) является разностью квадратов:

b² - 16 = (b + 4)(b - 4)

Таким образом, окончательное разложение:

9a² - 6ab + b² - 16 = 3a(3a - 2b) + (b + 4)(b - 4)

3. x³y² - x³ - xy² + x

Также как и в предыдущих примерах, попробуем применить группировку:

x³y² - x³ - xy² + x = x³(y² - 1) - x(xy² - 1)

Обратим внимание на выражения в скобках:

y² - 1 = (y + 1)(y - 1) xy² - 1 = (xy + 1)(y - 1)

Теперь разложение выглядит следующим образом:

x³(y + 1)(y - 1) - x(xy + 1)(y - 1)

4. 1 - x² + 4xy - 4y²

Это выражение тоже не является разностью квадратов, и оно не может быть легко разложено на множители.

Итак, окончательное разложение каждого выражения:

1. a + b + a² - b² разлагается на a² - b²
2. 9a² - 6ab + b² - 16 разлагается на 3a(3a - 2b) + (b + 4)(b - 4)
3. x³y² - x³ - xy² + x разлагается на x³(y + 1)(y - 1) - x(xy + 1)(y - 1)
4. 1 - x² + 4xy - 4y² не может быть разложено на множители с помощью целых чисел.