Question

Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции: y=2x^2-8x+11; на промежутке [0;4].​

Answer 1

1.f'(x)= (2x^2-8x+11)'=4x-8

2. 4x-8=0

x=2

3. 2 принадлежит [0;4]

f(2)= 2*2^2-8*2+11= 2*4-16+11= 3

f(0)=0-0+11=11

f(4)= 2*4^2-8*4+11= 2*16-32+11= 0+11= 11
max f(x)= f(0)= f(4)= 11
min f(x)= f(2)=3

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $y = 2x^2 - 8x + 11$ на промежутке $[0, 4]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, это происходит, когда производная функции равна нулю или не существует на заданном промежутке.

2. Определите значения функции в критических точках и на концах заданного промежутка.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции из полученных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = 2x^2 - 8x + 11$:

$y' = \frac{dy}{dx} = 4x - 8$

Шаг 2: Найдем критические точки:

Для того чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$4x - 8 = 0$

$4x = 8$

$x = \frac{8}{4} = 2$

Шаг 3: Определим значения функции в критической точке и на концах промежутка $[0, 4]$:

Подставим $x = 0$ и $x = 4$ в исходную функцию:

При $x = 0$:

$y = 2 \cdot 0^2 - 8 \cdot 0 + 11 = 11$

При $x = 4$:

$y = 2 \cdot 4^2 - 8 \cdot 4 + 11 = 2 \cdot 16 - 32 + 11 = 32 - 32 + 11 = 11$

Теперь найдем значение функции в критической точке $x = 2$:

$y = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 11 = 2 \cdot 4 - 16 + 11 = 8 - 16 + 11 = 3$

Шаг 4: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции:

Так как функция $y = 2x^2 - 8x + 11$ является параболой с положительным коэффициентом при $x^2$, то она будет направлена вверх. Это означает, что на промежутке $[0, 4]$ функция сначала убывает до критической точки $x = 2$, а затем возрастает.

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке $[0, 4]$ равно 3 (достигается в точке $x = 2$), а наибольшее значение равно 11 (достигается в точках $x = 0$ и $x = 4$).