Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции x^4-8x-9 на промежутке -1:1

Answer 1

Решение приложено к снимку:

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^4 - 8x - 9$ на промежутке $[-1, 1]$, нужно проанализировать значения функции на границах интервала и в критических точках внутри интервала.

Шаг 1: Найдем значения функции на границах интервала.

Подставим $x = -1$ и $x = 1$ в функцию $f(x)$:

• $f(-1) = (-1)^4 - 8(-1) - 9 = 1 + 8 - 9 = 0$
• $f(1) = (1)^4 - 8(1) - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$

Шаг 2: Найдем критические точки внутри интервала. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$f(x) = x^4 - 8x - 9$

$f'(x) = 4x^3 - 8$

Теперь приравняем $f'(x)$ к нулю и найдем критические точки:

$4x^3 - 8 = 0$

$4x^3 = 8$

$x^3 = 2$

$x = \sqrt[3]{2}$

Шаг 3: Проверим, является ли найденная критическая точка действительно внутренней точкой интервала $[-1, 1]$.

$\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$

Таким образом, значение $\sqrt[3]{2}$ находится в интервале $[-1, 1]$, и является внутренней точкой.

Теперь найдем значение функции в этой критической точке:

$f(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^4 - 8(\sqrt[3]{2}) - 9$

Последний шаг: Сравним все найденные значения функции (на границах и внутри интервала) и найдем наибольшее и наименьшее из них:

• Значение на границе интервала: $0$ (наименьшее)
• Значение на границе интервала: $-16$ (наибольшее)
• Значение во внутренней точке: $f(\sqrt[3]{2})$ (найдем численно)

$f(\sqrt[3]{2}) \approx 1.2599^4 - 8 \times 1.2599 - 9 \approx -10.279$

Итак, наименьшее значение функции на интервале $[-1, 1]$ равно $0$, а наибольшее значение равно $-16$.