Question

Докажите что при любом целом n значение выражения (7n+1)^2-(3n-11)^2 делится на 40

Answer 1

=49n²+14n+1-(9n²-66n+121)=

=49n²-9n²+14n+66n+1-121=

=40n²+40n-120

При любых целых n

(40n²+40n-120)/40=

n²+n-3

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $(7n+1)^2-(3n-11)^2$ делится на 40 для любого целого $n$, мы должны показать, что $(7n+1)^2-(3n-11)^2$ является кратным 40, то есть $(7n+1)^2-(3n-11)^2 = 40k$ для некоторого целого числа $k$.

Давайте разложим это выражение, чтобы найти $k$:

$(7n+1)^2-(3n-11)^2$

Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

$= [(7n+1)+(3n-11)][(7n+1)-(3n-11)]$

$= (10n-10)(4n+12)$

$= 10(n-1)(4n+12)$

Теперь давайте проверим, делится ли $10(n-1)(4n+12)$ на 40 при любом целом $n$. Для этого нам необходимо убедиться, что каждый из множителей $10$, $(n-1)$ и $(4n+12)$ делится на 40.

1. $10$ делится на 40, так как $10 = 40 \times 0$.
2. $(n-1)$ делится на 40 при $n = 1, 41, 81, \ldots$ и так далее, потому что разность между последовательными числами равна 40.
3. $(4n+12)$ делится на 40 при $n = 7, 17, 27, \ldots$ и так далее, потому что умножив $n$ на 4, мы получаем числа, которые имеют остаток 1 при делении на 10, а затем добавляя 12, мы получаем числа, которые имеют остаток 2 при делении на 10. Таким образом, они делятся на 40.

Таким образом, каждый из множителей делится на 40, а следовательно, $10(n-1)(4n+12)$ делится на 40.

Таким образом, мы доказали, что выражение $(7n+1)^2-(3n-11)^2$ делится на 40 для любого целого $n$.