Question

Найдите точку максимума y=16/x+x+3

Answer 1

$y=\frac{16}{x}+x+3\\y'=\frac{0*x-1*16}{x^2}+1=-((\frac{4}{x})^2-1)=-(\frac{4}{x}+1)(\frac{4}{x}-1)$

При x∈(-∞;-4)∪(4;+∞) y'>0

При x∈(-4;4) y'<0

В точке -4 производная меняет знак с минуса на плюс, и в этой точке производная равна нулю, значит это точка максимума.

Ответ: -4.

Answer 2

Для поиска точки максимума функции y = 16/x + x + 3, нужно найти значение x, при котором производная функции равна нулю. Затем мы проверим, что это значение x действительно соответствует точке максимума, а не минимума.

Шаги для нахождения точки максимума:

1. Найдем производную функции y по x.
2. Решим уравнение для нахождения значений x, при которых производная равна нулю.
3. Проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это действительно точка максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: dy/dx = d/dx (16/x + x + 3)

Для нахождения производной, используем правила дифференцирования:

dy/dx = -16/x^2 + 1

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю: -16/x^2 + 1 = 0

Перенесем слагаемое -16/x^2 на другую сторону уравнения:

-16/x^2 = -1

Теперь возьмем обратные значения:

x^2 = 16

x = ±√16

x = ±4

Таким образом, у нас есть два кандидата на точки экстремума: x = 4 и x = -4.

Шаг 3: Проверим вторую производную для определения типа экстремума:

d^2y/dx^2 = d/dx (-16/x^2 + 1)

Снова применяем правила дифференцирования:

d^2y/dx^2 = 32/x^3

Теперь подставим значения x = 4 и x = -4 во вторую производную:

1. При x = 4:

d^2y/dx^2 = 32/(4^3) = 32/64 = 0.5 (положительное число)

2. При x = -4:

d^2y/dx^2 = 32/(-4^3) = 32/-64 = -0.5 (отрицательное число)

Проверим знак второй производной для каждого значения x:

• При x = 4: d^2y/dx^2 > 0 - это указывает на локальный минимум.
• При x = -4: d^2y/dx^2 < 0 - это указывает на локальный максимум.

Таким образом, точка максимума функции y = 16/x + x + 3 находится при x = -4, и соответствующее значение y будет:

y = 16/(-4) + (-4) + 3 = -4 + (-4) + 3 = -5.