Question

100БАЛЛОВ СРОЧНО. Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника проходит прямая, параллельная основанию этого треугольника.Докажите, что эта прямая проходит через середину другой боковой стороны.

Answer 1

Можно доказать несколькими способами.

1) По т. Фалеса: Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на второй стороне угла.

Параллельные прямые DE и AC отсекают равные отрезки на стороне AB угла ABC, т.е. AD = DB. Значит на стороне BC они отсекают также равные отрезки BE = EC.

2) Из подобия треугольников. Так как DE ║ AC, то ΔABC подобен ΔDBE по двум углам: ∠B общий, ∠BDE = ∠BAC как соответствующие при DE ║ AC и секущей AB. Так как по условию AD = DB, то BD/AB = 1/2. Коэффициент подобия k = 1/2. ⇒ BE/BC = 1/2, ⇒ BC = 2*BE,  тч. E является серединой отрезка ВС.

3) Проведем прямые BO ║AC и ON║AB.

DBON параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны. ⇒ DB = EO. ADEN параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны,  так как AD=DB, то NE=EO.

ΔBEO = ΔNEC по второму признаку: ∠BEO = NEC вертикальные, ∠BOE = ∠ENC внутренние накрест лежащие при BO ║AC и секущей ON. OE = EN. Из равенства треугольников следует BE=EC. ( так доказывается т. Фалеса)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся свойствами равнобедренных треугольников и свойствами параллельных прямых.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Проведем прямую DE через середину BC, параллельную стороне BC треугольника ABC. Пусть F - это точка пересечения DE и AB, а G - это точка пересечения DE и AC (как на рисунке ниже).

cssCopy code
        A
       / \
      /   \
     /     \
    /   F   \
   /---------\
  B-----E-----C
          G

Докажем, что EG = GD, т.е. прямая DE также проходит через середину стороны AB.

Рассмотрим треугольники ADF и AEG:

1. AD = AG (по определению прямоугольного треугольника)
2. AF = AE (по определению середины стороны)
3. Угол ADF = Угол AEG (параллельные прямые DE и BC пересекаются с AB и AC под одинаковым углом)

По стороне-уголу-стороне (СУС) треугольников ADF и AEG следует, что они равны.

Теперь рассмотрим треугольники BDE и CGE:

1. BD = CG (по определению середины стороны)
2. DE - общая сторона
3. Угол BDE = Угол CGE (параллельные прямые DE и BC пересекаются с BC и AC под одинаковым углом)

По стороне-уголу-стороне (СУС) треугольников BDE и CGE следует, что они равны.

Теперь, поскольку треугольник ADF равен треугольнику AEG, то соответствующие стороны равны:

AF = AE

И поскольку треугольник BDE равен треугольнику CGE, то соответствующие стороны равны:

BD = CG

Теперь, рассмотрим треугольники ABF и ACG:

1. AF = AE (из предыдущего рассуждения)
2. BD = CG (из предыдущего рассуждения)
3. Угол ABF = Угол ACG (параллельные прямые DE и BC пересекаются с AB и AC под одинаковым углом)

По стороне-стороне-углу (ССУ) треугольников ABF и ACG следует, что они равны.

Теперь, так как треугольник ABF равен треугольнику ACG, то соответствующие стороны равны:

BF = CG

Но мы уже знаем, что BD = CG, а значит, BF = BD.

Таким образом, точка D также является серединой стороны AB. Это завершает доказательство того, что прямая DE, параллельная стороне BC равнобедренного треугольника ABC, также проходит через середину стороны AB.