Question

Log₃(x+1)+log₃(x+3)>1   Заранее больше спасибо

Answer 1

$\log_{3}(x+1) + \log_{3}(x+3) > 1$

Запишем ОДЗ: $\left \{ {\bigg{x+1 > 0} \atop \bigg{x+3 > 0}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {\bigg{x > -1} \atop \bigg{x > -3}} \right. \ \ \ \Rightarrow x > -1$

Упростим неравенство:

$\log_{3}(x+1)(x+3) > 1\\\log_{3}(x+1)(x+3) > \log_{3}3\\(x+1)(x+3) > 3$

Объединим неравенство с ОДЗ:

$\left \{ {\bigg{x > -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop \bigg{\ (x+1)(x+3) > 3^{*}}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {\bigg{x \in (-1; \ +\infty) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop \bigg{x \in (-\infty; \ -4) \cup (0; \ +\infty)}} \right.\\\\\Rightarrow x \in (0; \ +\infty)$

Ответ: $x \in (0; \ +\infty)$

* Решение данного неравенства упущено (оно решается методом интервалов или парабол).

Answer 2

Для решения неравенства с логарифмами, мы должны использовать свойства логарифмов. В данном случае, нам нужно решить неравенство:

$\log₃(x+1) + \log₃(x+3) > 1$

Сначала объединим логарифмы в один логарифм, используя свойство логарифма:

$\log₃((x+1)(x+3)) > 1$

Далее, избавимся от логарифма, возведя обе стороны неравенства в основание логарифма:

$3^{\log₃((x+1)(x+3))} > 3^1$

Теперь используем свойство $a^{\log_a(b)} = b$:

$(x+1)(x+3) > 3$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x + 3 > 3$

Упростим:

$x^2 + 4x > 0$

Теперь решим квадратное уравнение. Выпишем уравнение в стандартной форме:

$x^2 + 4x - 0 = 0$

Далее, решим уравнение:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(0)}}{2(1)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm 4}{2}$

Таким образом, получаем два корня:

1. $x_1 = \frac{-4 + 4}{2} = 0$
2. $x_2 = \frac{-4 - 4}{2} = -4$

Таким образом, неравенство $x^2 + 4x > 0$ выполняется при $x < -4$ или $x > 0$.

Итак, решением исходного неравенства $\log₃(x+1) + \log₃(x+3) > 1$ является интервал $x \in (-\infty, -4) \cup (0, +\infty)$.