Question

Найдите экстремумы функции у=2х/1-х²

Answer 1

Решение.

Найди производную, приравняй ее к 0 и найди х

Answer 2

Для того чтобы найти экстремумы функции, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю. Это позволит найти точки, в которых производная равна нулю и, следовательно, могут быть экстремумы.

Дана функция у = 2х / (1 - х²).

1. Найдем производную функции у по х: у' = d(2х / (1 - х²))/dx.

Для удобства производной воспользуемся правилом дифференцирования частного функций: (u/v)' = (u'v - uv') / v².

Применим это правило: у' = ((2)'(1 - х²) - 2(2х)' ) / (1 - х²)² = (0 - 4х) / (1 - х²)² = -4х / (1 - х²)².

2. Приравняем производную к нулю и найдем значения х: -4х / (1 - х²)² = 0.

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: -4х = 0.

Отсюда получаем х = 0.

3. Теперь найдем значение у в точке х = 0: у = 2х / (1 - х²) = 2 * 0 / (1 - 0²) = 0.

Таким образом, экстремум функции у = 2х / (1 - х²) находится в точке (0, 0).

Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, проведем анализ знаков производной в окрестности точки х = 0.

1. Возьмем произвольную точку х, которая меньше 0, например, х = -1/2. у'(-1/2) = -4 * (-1/2) / (1 - (-1/2)²)² = -2 / (1 - 1/4)² = -2 / (3/4)² = -2 / (9/16) = -32/9.

2. Теперь возьмем точку х, которая больше 0, например, х = 1/2. у'(1/2) = -4 * (1/2) / (1 - (1/2)²)² = -2 / (1 - 1/4)² = -2 / (3/4)² = -2 / (9/16) = -32/9.

Заметим, что у'(-1/2) и у'(1/2) имеют одинаковый знак (отрицательный). Это означает, что функция у = 2х / (1 - х²) убывает как слева от х = 0, так и справа от х = 0. Следовательно, точка (0, 0) является точкой максимума функции.

Графически, это будет выглядеть как вершина параболы, обращенной вниз.