Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: 3xy'-3y=2xcos^2(3y/x)

Answer 1

Ответ: photo.

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения, мы должны сначала решить его. Данное уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка.

1. Приведение уравнения к каноническому виду: Уравнение имеет вид: 3xy' - 3y = 2x*cos^2(3y/x).

Для упрощения, разделим обе части уравнения на x:

y' - (y/x) = (2/x)*cos^2(3y/x).

2. Введем новую переменную z = 3y/x. Тогда y' = xz' + z, и мы получим:

xz' + z - z = (2/x)*cos^2(z), xz' = (2/x)*cos^2(z).

3. Разделим уравнение на cos^2(z):

z' = (2/x)*sec^2(z).

4. Теперь разделим переменные и проинтегрируем:

∫sec^2(z) dz = ∫(2/x) dx.

Интегрирование даст:

tan(z) = 2ln|x| + C, где C - произвольная постоянная.

5. Теперь выразим z через y и x:

tan(3y/x) = 2ln|x| + C.

6. Найдем выражение для y:

3y/x = arctan(2ln|x| + C).

7. И, наконец, найдем y:

y = x * arctan(2ln|x| + C) / 3.

Это общее решение данного дифференциального уравнения. C - произвольная постоянная, которая может принимать любое значение, в зависимости от начальных условий задачи.