Question

Решить уравнение y' - (4x^3)y=x^3

Answer 1

Ответ:

Объяснение

$y'-4x^{3}y=x^{3}$

$y'=x^{3}+4x^{3}y$

$y'=x^{3}(1+4y)$

$\frac{dy}{dx} =x^{3} (1+4y)$

$\frac{dy}{1+4y} =x^{3}dx$

$\int\limits {\frac{dy}{1+4y} } \, =\int\limits {x^{3} } \, dx$

$\frac{1}{4} ln(1+4y)=\frac{x^{4} }{4} +c$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y' - (4x^3)y = x^3

Для решения этого уравнения можно использовать метод вариации постоянной. Первым шагом найдем общее решение однородного уравнения:

y' - (4x^3)y = 0

Общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = C * e^(int(-4x^3 dx)), где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде y_p = A * x^n, где A и n - неизвестные постоянные, которые нужно найти.

Подставим частное решение в исходное уравнение:

(y_p)' - (4x^3)y_p = x^3

(nA * x^(n-1)) - 4x^3 * (A * x^n) = x^3

nA * x^(n-1) - 4A * x^(n+3) = x^3

Чтобы левая часть равнялась правой для любого x, необходимо выполнение двух условий:

1. Коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны: nA = 0 (так как x^3 должно быть равно x^3).
2. Свободный член (при x^0) тоже должен быть равен: -4A = 1 (так как x^0 = 1).

Из первого условия следует, что n = 0, а из второго условия находим A = -1/4.

Теперь, найденное частное решение y_p = -1/4 * x^0 = -1/4.

Итак, общее решение исходного уравнения будет:

y = y_h + y_p

y = C * e^(int(-4x^3 dx)) - 1/4

y = C * e^(-x^4) - 1/4

Где С - произвольная постоянная. Это уравнение является общим решением исходного дифференциального уравнения.