Question

Решите уравнение: 4sinxcosx-4cosx-sinx+1=0

Answer 1

Смотрите решение на фото.

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его и найдем значения переменной x, удовлетворяющие уравнению.

Исходное уравнение: 4sin(x)cos(x) - 4cos(x) - sin(x) + 1 = 0

Для удобства, давайте заменим sin(x) на a и cos(x) на b. Тогда уравнение примет следующий вид:

4ab - 4b - a + 1 = 0

Теперь выразим a через b из данного уравнения:

a = (4b - 1) / (4b - 4)

Теперь заменим обратно sin(x) и cos(x) на полученные выражения:

sin(x) = (4cos(x) - 1) / (4cos(x) - 4)

Теперь мы можем решить уравнение, учитывая ограничения на sin(x) и cos(x).

1. Ограничения для sin(x):

-1 ≤ sin(x) ≤ 1

2. Ограничения для cos(x):

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

Теперь рассмотрим каждое из этих ограничений по отдельности.

1. Ограничение для sin(x):

-1 ≤ (4cos(x) - 1) / (4cos(x) - 4) ≤ 1

Упростим неравенство:

-4 ≤ 4cos(x) - 1 ≤ 4

Теперь решим неравенство для cos(x):

-4 + 1 ≤ 4cos(x) ≤ 4 + 1

-3 ≤ 4cos(x) ≤ 5

Для дальнейшего рассмотрения, разделим неравенство на 4:

-3/4 ≤ cos(x) ≤ 5/4

2. Ограничение для cos(x):

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

Теперь объединим ограничения для cos(x):

-3/4 ≤ cos(x) ≤ 1

Теперь найдем значения cos(x), которые удовлетворяют этому ограничению:

cos(x) ∈ [-3/4, 1]

Теперь найдем соответствующие значения sin(x) с помощью выражения, которое мы ранее получили:

sin(x) = (4cos(x) - 1) / (4cos(x) - 4)

Подставим значения cos(x) из интервала [-3/4, 1] в это выражение:

1. При cos(x) = -3/4:

sin(x) = (4 * (-3/4) - 1) / (4 * (-3/4) - 4) = (-3 - 1) / (-3 - 4) = -4 / -7 = 4/7

2. При cos(x) = 1:

sin(x) = (4 * 1 - 1) / (4 * 1 - 4) = (4 - 1) / (4 - 4) = 3 / 0

Заметим, что второе значение (cos(x) = 1) приводит к делению на ноль, что недопустимо. Поэтому, уравнение не имеет решений при cos(x) = 1.

Таким образом, единственное решение уравнения это:

x = arcsin(4/7) + 2πk, где k - целое число.