Question

Помогите, пожалуйста, решить: Сколько решений имеет уравнение (√x-1)(x²-(3+a)x+3a)=0 в зависимости от параметра а?

Answer 1

Ответ:

при а=3 :    2 корня (1; 3)

при a≠3 :    3 корня (1; 3; a)

Объяснение:

√(x-1)=0                

x-1=0                    

x=1      

x²-(3+a)x+3a=0

D=(3+a)²-4*3a=9+a²+6a-12a=a²-6a+9= (√(a²-6a+9))² =(a-3)²

x=((3+a)±(a-3))/2

x=(3+а+а-3)/2=а

x=(3+а-а+3)/2=3          

Answer 2

Для решения уравнения ($\sqrt{x} - 1$)(x² - (3 + a)x + 3a) = 0, нам нужно определить, сколько решений оно имеет в зависимости от параметра a. Для этого рассмотрим каждый множитель отдельно и найдем значения x, при которых каждый из них равен нулю.

1. $\sqrt{x} - 1 = 0$: Для этого уравнения, чтобы найти x, нужно избавиться от корня, возведя обе стороны в квадрат: $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$

2. $x^2 - (3 + a)x + 3a = 0$: Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

   В нашем случае: $a = 1$, $b = -(3 + a) = -4$, $c = 3a = 3$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

   Теперь, определим количество решений в зависимости от значения дискриминанта:

   • Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных корня.
   • Если $D = 0$, то уравнение имеет один корень (два корня совпадают).
   • Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

   Таким образом, у нас есть 3 случая в зависимости от параметра $a$:

   1. Если $a$ таково, что $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.
   2. Если $a$ таково, что $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень (два корня совпадают).
   3. Если $a$ таково, что $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Найдем значение параметра $a$, при котором дискриминант $D$ равен нулю:

$D = 0 \Rightarrow 4 - 4 \cdot 1 \cdot 3a = 0$

$4 - 12a = 0 \Rightarrow 12a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$

Таким образом, когда $a = \frac{1}{3}$, у нас будет один действительный корень.

Выводы:

1. Когда $a \neq \frac{1}{3}$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Когда $a = \frac{1}{3}$, уравнение имеет один действительный корень (два корня совпадают).