Question

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два различных корня? (x^2 + 2x + a)/(x^2 + 2x + 8a + a^2) = 0P.s.: У меня получилось (-1; -4/5) U (-4/5; 0) U (0; √17 - 4) U (√17 - 4; 1).

Answer 1

Ответ:

a ∈ (- ∞; - 7) ∪ (- 7; 0) ∪ (0; 1)

Объяснение:

$\dfrac{x^{2}+2x+a}{x^{2}+2x+8a+a^{2}}=0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\left\{ \begin{array}{ll}x^{2}+2x+a=0\\x^{2}+2x+8a+a^{2}\neq 0\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}x^{2}+2x+1=1-a\\x^{2}+2x+1\neq 1-8a-a^{2}\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}(x+1)^{2}=1-a\\(x+1)^{2}\neq 1-8a-a^{2}\end{array}$

Первое уравнение имеет два корня, если 1 - а > 0, при этом должно выполняться условие: 1 - а ≠ 1 - 8а - а².

$\left\{ \begin{array}{ll}1-a>0\\1-a\neq 1-8a-a^{2}\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}a$

$\left\{ \begin{array}{lll}a$

a ∈ (- ∞; - 7) ∪ (- 7; 0) ∪ (0; 1)

Answer 2

Для уравнения $\frac{{x^2 + 2x + a}}{{x^2 + 2x + 8a + a^2}} = 0$ чтобы имелось ровно два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы числитель $x^2 + 2x + a$ равнялся нулю, а знаменатель $x^2 + 2x + 8a + a^2$ был отличен от нуля (чтобы не получить деление на ноль).

Уравнение $x^2 + 2x + a = 0$ имеет два различных корня тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения положителен, т.е. $D = b^2 - 4ac > 0$, где $a = 1, b = 2, c = a$.

Вычислим дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 4 - 4a$.

Теперь, чтобы знаменатель $x^2 + 2x + 8a + a^2$ был отличен от нуля, необходимо, чтобы:

$x^2 + 2x + 8a + a^2 \neq 0$.

Мы знаем, что это квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D_2 = b^2 - 4ac$ больше или равен нулю.

Подставим значения: $a = 1, b = 2, c = 8a + a^2 = 9$.

$D_2 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32$.

Таким образом, чтобы знаменатель не равнялся нулю, $D_2$ должен быть больше нуля.

Однако, у нас получается $D_2 = -32$, что означает, что уравнение $x^2 + 2x + 8a + a^2 = 0$ не имеет действительных корней, а значит, уравнение $\frac{{x^2 + 2x + a}}{{x^2 + 2x + 8a + a^2}} = 0$ не может иметь ровно два различных действительных корня.

Возможно, вы совершили ошибку при вычислении корней или составлении уравнения. Если вы предоставите более подробную информацию о вашем решении или о том, как вы получили свой ответ, я с удовольствием помогу проанализировать вашу работу.