Question

Доведіть, що нерівність 5a²+12a-4ab+4b²+9≥0 виконується при всіх значеннях a i b.

Answer 1

5a²+12a-4ab+4b²+9≥0

(4a²+12a+9)+(4b²-4ab+a²)≥0

(2a+3)²+(2b-a)²≥0

Теперь какое бы число мы не подставили, даже отрицательное, ответ всегда будет больше 0.

Answer 2

Для доведення того, що нерівність 5a² + 12a - 4ab + 4b² + 9 ≥ 0 виконується для всіх значень a і b, ми можемо скористатися методом дослідження знаків.

Спочатку розглянемо дискримінант даних квадратних термінів 5a² + 12a + 4b². Дискримінант D буде рівний:

D = (12)² - 4 * 5 * (4b²) = 144 - 80b².

Тепер давайте розділити нерівність на два випадки:

Випадок 1: 144 - 80b² ≥ 0

Для того, щоб ця нерівність була задоволеною, дискримінант D має бути невід'ємним:

D ≥ 0 144 - 80b² ≥ 0 -80b² ≥ -144 b² ≤ 144 / 80 b² ≤ 9 / 5.

Це означає, що b² повинно бути менше або дорівнює 9/5 для того, щоб нерівність була задоволеною. Оскільки квадрат числа не може бути від'ємним, а лише дорівнює нулю або позитивному значенню, то це нерівність виконується для всіх значень b.

Випадок 2: 144 - 80b² < 0

Якщо дискримінант D менше нуля, то ми знаємо, що 144 - 80b² завжди менше нуля. Таким чином, в цьому випадку, нерівність 5a² + 12a - 4ab + 4b² + 9 ≥ 0 також виконується для всіх значень b.

Отже, незалежно від значень a і b, нерівність 5a² + 12a - 4ab + 4b² + 9 ≥ 0 завжди виконується.