Question

Постройте график функции y = |x|x + 3|x| - 5x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) при x≥0 IxI=x

y=x²+3x-5x=x²-2x

координаты вершины

х₀=1; y₀=-1

∩ c OX  y=0 x(x-2)=0; x₁=0 ; x₂=2

∩ c OY  x=0 y=0

2) при x<0 IxI=-x

y=-x²-3x-5x=-x²-8x

координаты вершины

х₀=-4; y₀=-16+32=16

∩ c OX  y=0  -x(x+8)=0; x₁=0 ; x₂=-8

∩ c OY  x=0 y=0

3) y = m имеет с графиком ровно две общие точки когда проходит через вершины парабол

m={-1;16}

Answer 2

Для начала построим график функции y = |x|x + 3|x| - 5x. Эта функция представляет собой комбинацию модулей и линейной функции, поэтому нам нужно рассмотреть несколько случаев:

1. Когда x >= 0: В этом случае |x| равно самому x, поэтому функция y = |x|x + 3|x| - 5x приобретает вид y = x^2 + 3x - 5x = x^2 - 2x.

2. Когда x < 0: В этом случае |x| равно -x, поэтому функция y = |x|x + 3|x| - 5x приобретает вид y = -x^2 + 3x + 5x = -x^2 + 8x.

Теперь построим график каждой из этих функций на одном графике:

Для удобства, обозначим y = x^2 - 2x как f(x), а y = -x^2 + 8x как g(x).

Чтобы найти точки пересечения прямой y = m с графиком функции, необходимо решить уравнение f(x) = m или g(x) = m.

1. Для f(x) = m: x^2 - 2x = m.

2. Для g(x) = m: -x^2 + 8x = m.

Теперь определим значения m, при которых у этих уравнений есть два корня (то есть прямая пересекается с графиком ровно в двух точках). Это происходит, когда дискриминант уравнений больше нуля.

1. Для f(x) = m: Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-m) = 4 + 4m.

   Чтобы иметь два корня, D > 0: 4 + 4m > 0 4m > -4 m > -1

2. Для g(x) = m: Дискриминант D = 8^2 - 4 * (-1) * m = 64 + 4m.

   Чтобы иметь два корня, D > 0: 64 + 4m > 0 4m > -64 m > -16

Таким образом, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком функции, если m > -1 и m > -16. Минимальное значение из этих двух условий - это m > -1.

Итак, прямая y = m пересекается с графиком функции ровно в двух точках, когда m > -1.