Question

Обгрунтуйте, що задані функції є зростаючими(на область її визначення) a)y=4x+2 b)y=x-3

Answer 1

а) y = 4x+2

Δdy/Δx = 4, оскільки похідна більша 0, то функція є монотоною і зростає на множині дійсних чисел.

б) y = x-3

Δdy/Δx = 1, теж саме.

Answer 2

Для обгрунтування того, що задані функції є зростаючими (на область її визначення), ми повинні дослідити зміну їх значень при збільшенні аргументу (x). Функція є зростаючою на своєму визначенні, якщо зі збільшенням аргументу значення функції теж зростає.

a) y = 4x + 2: Щоб перевірити, чи є ця функція зростаючою, порівняємо значення функції для двох довільних точок x1 і x2, де x1 < x2:

y(x1) = 4x1 + 2 y(x2) = 4x2 + 2

Тепер, якщо x2 більше за x1 (x2 > x1), то ми очікуємо, що y(x2) буде більше за y(x1) для того, щоб функція була зростаючою.

4x2 + 2 > 4x1 + 2

На даному етапі займаємося спрощенням:

4x2 > 4x1

Тепер ділимо обидві сторони нерівності на 4 (при цьому ми передбачаємо, що 4 більше за 0, інакше ми б мусили б змінити напрямок нерівності):

x2 > x1

Це правда, оскільки x2 більше за x1. Отже, функція y = 4x + 2 є зростаючою на своєму визначенні.

b) y = x - 3: Щоб перевірити, чи є ця функція зростаючою, знову порівняємо значення функції для двох довільних точок x1 і x2, де x1 < x2:

y(x1) = x1 - 3 y(x2) = x2 - 3

Тепер, якщо x2 більше за x1 (x2 > x1), то ми очікуємо, що y(x2) буде більше за y(x1) для того, щоб функція була зростаючою.

x2 - 3 > x1 - 3

Спрощуємо:

x2 > x1

Це теж правда, оскільки x2 більше за x1. Отже, функція y = x - 3 також є зростаючою на своєму визначенні.

Висновок: Обидві задані функції є зростаючими на область їх визначення, оскільки зі збільшенням значення аргументу x зростають і значення функцій y = 4x + 2 та y = x - 3.